中国科学院大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $\displaystyle x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $x_{n}=\sin x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明数列单调递减且有下界，从而极限存在
已知 $x_0 \in (0, \pi/2)$，则 $x_1 = \sin x_0 \in (0,1) \subset (0, \pi/2)$。对于任意 $t \in (0, \pi/2)$，有 $\sin t < t$，因此 $x_1 < x_0$。假设 $x_{n-1} \in (0, \pi/2)$，则 $x_n = \sin x_{n-1} < x_{n-1}$ 且 $x_n > 0$。由数学归纳法知数列严格递减且有下界 $0$。
公式：$x_n = \sin x_{n-1} < x_{n-1}$
提示：注意 $\sin t < t$ 在 $t>0$ 时成立，这是判断单调性的关键。
步骤 2/5
目标：求出数列极限
由单调有界原理，极限存在，设 $\lim_{n\to\infty} x_n = a$。对递推式两边取极限得 $a = \sin a$。方程 $a = \sin a$ 在实数范围内的解只有 $a=0$（因为当 $a>0$ 时 $\sin a < a$，当 $a<0$ 时 $\sin a > a$）。故 $\lim_{n\to\infty} x_n = 0$。
公式：$a = \sin a \Rightarrow a=0$
提示：注意 $a=0$ 是唯一解，不要遗漏 $a=0$ 的情况。
步骤 3/5
目标：利用泰勒展开分析 $x_n$ 的渐近行为
当 $x_{n-1}$ 很小时，有 $\sin x_{n-1} = x_{n-1} - \frac{x_{n-1}^3}{6} + O(x_{n-1}^5)$，因此 $x_n = x_{n-1} - \frac{x_{n-1}^3}{6} + \text{高阶项}$。考虑 $1/x_n^2$ 的变化：$\frac{1}{x_n^2} = \frac{1}{(x_{n-1} - x_{n-1}^3/6 + \cdots)^2} = \frac{1}{x_{n-1}^2} \cdot \frac{1}{(1 - x_{n-1}^2/6 + \cdots)^2}$。利用 $(1-\varepsilon)^{-2} = 1 + 2\varepsilon + O(\varepsilon^2)$，其中 $\varepsilon = x_{n-1}^2/6$，得 $\frac{1}{x_n^2} = \frac{1}{x_{n-1}^2} \left(1 + \frac{x_{n-1}^2}{3} + O(x_{n-1}^4)\right)$。
公式：$\frac{1}{x_n^2} = \frac{1}{x_{n-1}^2} \left(1 + \frac{x_{n-1}^2}{3} + O(x_{n-1}^4)\right)$
提示：泰勒展开时注意保留到 $x_{n-1}^2$ 项，高阶项不影响极限。
步骤 4/5
目标：推导 $1/x_n^2$ 的差分近似
由上式得 $\frac{1}{x_n^2} - \frac{1}{x_{n-1}^2} = \frac{1}{3} + O(x_{n-1}^2)$。当 $n$ 很大时，$x_{n-1}^2$ 很小，因此 $\frac{1}{x_n^2} - \frac{1}{x_{n-1}^2} \to \frac{1}{3}$。
公式：$\frac{1}{x_n^2} - \frac{1}{x_{n-1}^2} = \frac{1}{3} + O(x_{n-1}^2)$
提示：注意 $O(x_{n-1}^2)$ 项在 $n\to\infty$ 时趋于 $0$，故差分趋于常数 $1/3$。
步骤 5/5
目标：利用Stolz定理或累加法求 $n x_n^2$ 的极限
考虑 $\lim_{n\to\infty} \frac{1/x_n^2}{n}$，分母趋于无穷，可用Stolz定理：$\lim_{n\to\infty} \frac{1/x_n^2 - 1/x_{n-1}^2}{n - (n-1)} = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{x_n^2} - \frac{1}{x_{n-1}^2} \right) = \frac{1}{3}$。因此 $\frac{1/x_n^2}{n} \to \frac{1}{3}$，即 $n x_n^2 \to 3$。
公式：$\lim_{n\to\infty} n x_n^2 = 3$
提示：Stolz定理适用于 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限，注意验证条件。也可用累加法：$\frac{1}{x_n^2} \sim \frac{n}{3}$。
步骤 6/7
目标：求和并估计主项
令 $y_n = \frac{1}{x_n^2}$，则 $y_n = y_{n-1} + \frac{1}{3} + \varepsilon_{n-1}$，其中 $\varepsilon_{n-1} = O(x_{n-1}^2) \to 0$。累加得 $y_n = y_0 + \frac{n}{3} + \sum_{k=0}^{n-1} \varepsilon_k$。由于 $\varepsilon_k \to 0$，部分和 $\sum_{k=0}^{n-1} \varepsilon_k = o(n)$，故 $y_n \sim \frac{n}{3}$。
公式：y_n = \frac{n}{3} + o(n)
提示：注意 $o(n)$ 表示比 $n$ 低阶的无穷大，需确认 $\varepsilon_k$ 的求和是 $o(n)$。
步骤 7/7
目标：计算极限 $\lim_{n\to\infty} n x_n^2$
由 $y_n = \frac{1}{x_n^2} \sim \frac{n}{3}$，得 $x_n^2 \sim \frac{3}{n}$，故 $n x_n^2 \sim 3$，因此 $\lim_{n\to\infty} n x_n^2 = 3$。
公式：n x_n^2 \to 3
提示：注意 $x_n^2 \sim \frac{3}{n}$ 是渐近等价，极限存在且为3。
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