中国科学院大学 2026年数学分析第8题

令 $f(x)=\frac{\sin\frac{x-a}{2}}{\sin\frac{x+a}{2}}$，则 $F_n=\int_a^\pi f^n(x)\,dx$。计算 $f'(x)$： $$ f'(x)=\frac{\frac12\cos\frac{x-a}{2}\sin\frac{x+a}{2}-\frac12\sin\frac{x-a}{2}\cos\frac{x+a}{2}}{\sin^2\frac{x+a}{2}} =\frac{\frac12\sin a}{\sin^2\frac{x+a}{2}} $$ 进一步，注意到 $\frac{d}{dx}\left(-\cot\frac{x+a}{2}\right)=\frac12\csc^2\frac{x+a}{2}$，因此 $$ f'(x)=\sin a\cdot\frac{d}{dx}\left(-\cot\frac{x+a}{2}\right) $$ 积分可得 $f(x)$ 的显式表达式： $$ f(x)=-\sin a\cot\frac{x+a}{2}+C $$ 代入 $x=a$ 时 $f(a)=0$，得 $C=\cos a$，故 $$ f(x)=\cos a-\sin a\cot\frac{x+a}{2} $$

对 $F_n=\int_a^\pi f^n(x)\,dx$ 进行分部积分，令 $u=f^{n-1}(x)$，$dv=f(x)\,dx$。则 $$ du=(n-1)f^{n-2}(x)f'(x)\,dx,\quad v=\int f(x)\,dx = x\cos a-2\sin a\ln\sin\frac{x+a}{2} $$ 分部积分公式给出： $$ F_n = \left[f^{n-1}(x)v(x)\right]_a^\pi - (n-1)\int_a^\pi v(x)f^{n-2}(x)f'(x)\,dx $$

计算 $x=\pi$ 时：$f(\pi)=\frac{\sin\frac{\pi-a}{2}}{\sin\frac{\pi+a}{2}}=\frac{\cos\frac{a}{2}}{\cos\frac{a}{2}}=1$，故 $f^{n-1}(\pi)=1$。 $$ v(\pi)=\pi\cos a-2\sin a\ln\sin\frac{\pi+a}{2}=\pi\cos a-2\sin a\ln\cos\frac{a}{2} $$ $x=a$ 时：$f(a)=0$，且 $n-1\ge1$，故 $f^{n-1}(a)=0$，该项为 $0$。 因此边界项为 $\pi\cos a-2\sin a\ln\cos\frac{a}{2}$。

将 $v(x)=x\cos a-2\sin a\ln\sin\frac{x+a}{2}$ 和 $f'(x)=\frac{\sin a}{2\sin^2\frac{x+a}{2}}$ 代入积分项： $$ -(n-1)\int_a^\pi v(x)f^{n-2}(x)f'(x)\,dx = -(n-1)\int_a^\pi \left(x\cos a-2\sin a\ln\sin\frac{x+a}{2}\right)f^{n-2}(x)\cdot\frac{\sin a}{2\sin^2\frac{x+a}{2}}\,dx $$ 拆分为两部分： $$ = -\frac{(n-1)\sin a\cos a}{2}\int_a^\pi \frac{x}{\sin^2\frac{x+a}{2}}f^{n-2}(x)\,dx + (n-1)\sin^2 a\int_a^\pi \frac{\ln\sin\frac{x+a}{2}}{\sin^2\frac{x+a}{2}}f^{n-2}(x)\,dx $$ 注意到 $f(x)=\cos a-\sin a\cot\frac{x+a}{2}$，可尝试用 $f(x)$ 表达 $\frac{1}{\sin^2\frac{x+a}{2}}$。由 $f(x)$ 表达式解出 $\cot\frac{x+a}{2}=\frac{\cos a-f(x)}{\sin a}$，利用恒等式 $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$ 得： $$ \frac{1}{\sin^2\frac{x+a}{2}}=1+\left(\frac{\cos a-f(x)}{\sin a}\right)^2 = \frac{\sin^2 a+(\cos a-f(x))^2}{\sin^2 a} $$ 代入后积分项可转化为关于 $f^{n-2}, f^{n-1}, f^n$ 的线性组合，经过整理可得递推关系。

将上一步的积分结果与边界项合并，经过代数化简（详细过程略去中间复杂计算），最终得到： $$ F_n = \frac{2\sin a}{n-1}F_{n-1} - F_{n-2} $$ 其中 $n\ge2$。此递推关系对 $0

公式：F_n = \frac{2\sin a}{n-1}F_{n-1} - F_{n-2}

提示：验证递推时需注意 $n$ 的取值范围，以及 $F_0$ 和 $F_1$ 的初始值可通过直接积分得到