中国科学院大学 2026年数学分析第9题

积分区域 $D: \theta \in [0, \pi], \varphi \in [0, 2\pi]$ 对应单位球面（半径 $r=1$）的全部方向。被积函数为 $f(m \sin\theta \cos\varphi + n \sin\theta \sin\varphi + p \cos\theta) \sin\theta$，其中 $\sin\theta$ 是球面面积元 $dS = \sin\theta \, d\theta d\varphi$ 的一部分。令向量 $\mathbf{v} = (m, n, p)$，单位方向向量 $\mathbf{u} = (\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$，则左边积分可写为 $\iint_{S^2} f(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}) \, dS(\mathbf{u})$。

由于球面具有旋转对称性，可旋转坐标系使 $\mathbf{v}$ 方向成为新坐标系的 $z$ 轴。设 $R = |\mathbf{v}| = \sqrt{m^2 + n^2 + p^2}$，则在新坐标系中，$\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = R \cos\Theta$，其中 $\Theta$ 是新极角（从 $\mathbf{v}$ 方向量起）。新球坐标下面积元仍为 $\sin\Theta \, d\Theta d\Phi$，且 $\Theta \in [0, \pi], \Phi \in [0, 2\pi]$。原积分化为： $$\int_{\Phi=0}^{2\pi} \int_{\Theta=0}^{\pi} f(R \cos\Theta) \sin\Theta \, d\Theta d\Phi$$

被积函数 $f(R \cos\Theta) \sin\Theta$ 与 $\Phi$ 无关，因此先对 $\Phi$ 积分： $$\int_{0}^{2\pi} d\Phi = 2\pi$$ 得到： $$2\pi \int_{0}^{\pi} f(R \cos\Theta) \sin\Theta \, d\Theta$$

令 $u = \cos\Theta$，则 $du = -\sin\Theta \, d\Theta$。当 $\Theta = 0$ 时 $u = 1$；当 $\Theta = \pi$ 时 $u = -1$。代入得： $$\int_{0}^{\pi} f(R \cos\Theta) \sin\Theta \, d\Theta = \int_{1}^{-1} f(R u) (-du) = \int_{-1}^{1} f(R u) \, du$$ 因此左边积分化为： $$2\pi \int_{-1}^{1} f(R u) \, du$$

将积分 $\int_{-1}^{1} f(R u) \, du$ 拆分为 $\int_{-1}^{0} f(R u) \, du + \int_{0}^{1} f(R u) \, du$。对第一部分作代换 $u = -v$，则 $du = -dv$，当 $u = -1$ 时 $v = 1$，$u = 0$ 时 $v = 0$，于是： $$\int_{-1}^{0} f(R u) \, du = \int_{1}^{0} f(-R v) (-dv) = \int_{0}^{1} f(-R v) \, dv$$ 因此原积分变为： $$2\pi \left[ \int_{0}^{1} f(-R v) \, dv + \int_{0}^{1} f(R u) \, du \right] = 2\pi \int_{0}^{1} [f(R u) + f(-R u)] \, du$$ 但题目右边为 $2\pi \int_{0}^{1} f(uR) \, du$，这要求 $f$ 为偶函数（即 $f(-x) = f(x)$）才能成立。在题目未明确说明的情况下，此恒等式通常默认 $f$ 是偶函数，或原题意图是证明该等式在 $f$ 为任意函数时仍成立（此时右边应理解为 $2\pi \int_{0}^{1} [f(Ru) + f(-Ru)] \, du$，但题目写法有省略）。经典结论是：对于任意 $f$，有 $\iint_{S^2} f(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}) \, dS = 2\pi \int_{-1}^{1} f(Ru) \, du$，而题目形式需要额外对称性假设。