中国科学院大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．设 $y=f(x)$ 是 $e^{x}+x y=e$ 在 $(0,1)$ 点附近确定的隐函数，求 $f^{\prime \prime}(0)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：验证点是否在曲线上，并修正方程形式
将点 $(0,1)$ 代入原方程 $e^{x}+xy=e$ 得 $e^{0}+0=1\neq e$，不成立。根据常见题型，方程应为 $e^{y}+xy=e$，代入 $(0,1)$ 得 $e^{1}+0=e$，成立。因此采用修正后的方程 $e^{y}+xy=e$。
公式：e^{y}+xy=e
提示：注意验证给定点是否满足方程，若不满足需检查方程是否有笔误。
步骤 2/4
目标：求一阶导数 $y'$
对 $e^{y}+xy=e$ 两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：$e^{y}\cdot y' + y + x y' = 0$。整理得 $y'(e^{y}+x)+y=0$，解得 $y' = -\frac{y}{e^{y}+x}$。代入 $x=0,y=1$ 得 $y'(0) = -\frac{1}{e}$。
公式：y' = -\frac{y}{e^{y}+x}
提示：求导时不要漏掉 $xy$ 的乘积法则项 $y+xy'$。
步骤 3/4
目标：求二阶导数 $y''$ 的表达式
对 $y' = -\frac{y}{e^{y}+x}$ 两边关于 $x$ 求导，使用商法则。设 $u=y$，$v=e^{y}+x$，则 $y'' = -\frac{u'v - uv'}{v^2}$，其中 $u'=y'$，$v'=e^{y}y'+1$。代入得 $y'' = -\frac{y'(e^{y}+x) - y(e^{y}y'+1)}{(e^{y}+x)^2}$。化简分子：$y'e^{y}+xy' - ye^{y}y' - y = y'(e^{y}+x - ye^{y}) - y$，所以 $y'' = -\frac{y'(e^{y}+x - ye^{y}) - y}{(e^{y}+x)^2}$。
公式：y'' = -\frac{y'(e^{y}+x - ye^{y}) - y}{(e^{y}+x)^2}
提示：注意商法则中负号的处理，以及 $v'$ 中 $e^{y}y'$ 项不要遗漏。
步骤 4/4
目标：代入具体数值计算 $y''(0)$
代入 $x=0$，$y=1$，$y'=-\frac{1}{e}$。先计算分母：$(e^{1}+0)^2 = e^2$。再计算分子中的 $e^{y}+x - ye^{y} = e + 0 - 1\cdot e = 0$，因此 $y'\times 0 = 0$，分子括号内为 $0 - y = -1$。于是 $y''(0) = -\frac{0 - 1}{e^2} = -\frac{-1}{e^2} = \frac{1}{e^2}$。
公式：f''(0) = \frac{1}{e^{2}}
提示：代入前先化简表达式，注意 $e^{y}+x - ye^{y}$ 恰好为零，简化计算。
步骤 5/5
目标：代入已知值求解二阶导数
代入 $x=0, y=1, y'(0) = -\frac{1}{e}$：$e \cdot \left(-\frac{1}{e}\right)^2 + e \cdot y''(0) + 2 \cdot \left(-\frac{1}{e}\right) + 0 = 0$，即 $\frac{1}{e} + e y''(0) - \frac{2}{e} = 0$，化简得 $e y''(0) - \frac{1}{e} = 0$，解得 $y''(0) = \frac{1}{e^2}$。
公式：$f''(0) = \frac{1}{e^{2}}$
提示：计算时注意 $(-1/e)^2 = 1/e^2$，合并同类项时小心符号。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此 $f''(0) = \frac{1}{e^2}$。
提示：最终答案需化简。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。