中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限类型并取对数
当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{\sin x}{x} \to 1$，指数 $\frac{1}{x^2} \to +\infty$，因此该极限是 $1^\infty$ 型未定式。设 $L = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$，两边取自然对数得：
$$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} \ln\left( \frac{\sin x}{x} \right)$$
公式：\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} \ln\left( \frac{\sin x}{x} \right)
提示：对于 $1^\infty$ 型极限，取对数转化为 $0 \cdot \infty$ 型是标准方法，注意指数部分直接作为系数。
步骤 2/5
目标：展开 $\sin x$ 的泰勒级数
将 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开：
$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$$
两边除以 $x$ 得：
$$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots$$
公式：\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)
提示：展开到 $x^2$ 项即可，因为后续要除以 $x^2$，更高阶项不影响极限。
步骤 3/5
目标：展开对数函数
令 $u = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)$，利用 $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \cdots$，得：
$$\ln\left( \frac{\sin x}{x} \right) = \left(-\frac{x^2}{6} + O(x^4)\right) - \frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{6} + O(x^4)\right)^2 + \cdots = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)$$
公式：\ln\left( \frac{\sin x}{x} \right) = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)
提示：注意 $u^2$ 项是 $O(x^4)$，不影响 $x^2$ 阶的主项，因此只需保留 $-x^2/6$。
步骤 4/5
目标：代入并求极限
将展开式代入 $\ln L$ 的表达式：
$$\frac{1}{x^2} \ln\left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{1}{x^2} \left( -\frac{x^2}{6} + O(x^4) \right) = -\frac{1}{6} + O(x^2)$$
当 $x \to 0^+$ 时，$O(x^2) \to 0$，所以：
$$\ln L = -\frac{1}{6}$$
公式：\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} \ln\left( \frac{\sin x}{x} \right) = -\frac{1}{6}
提示：注意 $O(x^4)/x^2 = O(x^2)$，极限为0，不要遗漏高阶项的处理。
步骤 5/5
目标：还原原极限
由 $\ln L = -\frac{1}{6}$，两边取指数得：
$$L = e^{-\frac{1}{6}}$$
公式：L = e^{-\frac{1}{6}}
提示：取对数后求极限得到的是 $\ln L$，最后必须还原为 $L$，注意指数运算。
步骤 6/6
目标：得出原极限
因此 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \ln y = -\frac{1}{6}$，所以 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} y = e^{-\frac{1}{6}}$。
公式：$\lim y = e^{\lim \ln y}$
提示：最后结果不要忘记指数形式。
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