📝 中山大学 2026年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

2．设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln (x y)=x^{2}-y^{2}$ 隐式定义，求点 $(x, y)=(1,1)$ 处的导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}(1,1)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{2}+\sin x}=$ $\_\_\_\_$。

4．曲线由参数方程 $x=t, y=t^{2}$ 给出，求该曲线在 $t=1$ 处的曲率 $\_\_\_\_$ ．

5．已知函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 处连续，求 $p$ 的取值范围 $\_\_\_\_$ ．

6．求函数 $\mu(x, y, z)=x y^{2}+z^{3}-x y z$ 在点 $(1,1,2)$ 处沿方向 $\displaystyle l=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 的方向导数 $\_\_\_\_$ ．

7．计算积分 $\displaystyle \iiint_{0 \leq s \leq 1, s \leq t \leq \sqrt{s}} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ．

8．设 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 被平面 $x+y+z=0$ 所截得的圆周，计算积分 $\int_{L} x^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ．

9．级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1^{n}+2^{n}+\cdots+10^{n}}{n(\ln n)^{2}} e^{n x}$ 的一致收敛区域为 $\_\_\_\_$ .

10．如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{p \ln n}{2 n}\right)^{n}$ 是收玫的，则 $p$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

11．设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 2 n x}{n}$ ，则 $\displaystyle S\left(\frac{\pi}{6}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

12． $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。

七．（15 分）令 $\displaystyle B_{R}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq R^{2}\right\}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的半径为 $R$ 的闭球，$\displaystyle R>0$ ．设 $\displaystyle f(\mathbf{x})$ 是 $\displaystyle B_{2}$ 上的连续函数，满足条件：对任意的 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y} \in B_{2}$ ，成立 $\displaystyle \frac{f(\mathbf{x})+f(\mathbf{y})}{2} \geq f\left(\frac{\mathbf{x}+\mathbf{y}}{2}\right)$ ．证明：
（1）对任意的 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y} \in B_{2}$ 和任意的 $\displaystyle \lambda \in(0,1)$ ，成立 $\displaystyle \lambda f(\mathbf{x})+(1-\lambda) f(\mathbf{y}) \geq f(\lambda \mathbf{x}+(1-\lambda) \mathbf{y})$ ．
（2）存在一个常数 $\displaystyle C>0$ ，使得如下不等式成立：

$$
|f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})| \leq C\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|, \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in B_{1} .
$$

这里 $\displaystyle \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|$ 表示 $\displaystyle \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 和 $\displaystyle \mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}\right)$ 之间的距离 $\displaystyle \sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}}$ ．

三．（ 15 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \cos \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在（ 0,1 ）上有定义，$\displaystyle f(x) \tan x$ 单调递增， $\displaystyle \tan (f(x))$ 单调递减，证明：$\displaystyle f(x)$ 在（ 0,1 ）上连续。

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意固定的 $\displaystyle x \in[0,1]$ ，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(x+n)=0$ ，证明：函数列 $\displaystyle \{f(x+n) \mid n \geq 1\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 0.

六．（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{a_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有定义，且存在不依赖于 $\displaystyle x, n$ 的常数 $K$ ，使得

$$
\left|a_{1}(x)\right| \leq K, \sum_{n=1}^{m}\left|a_{n}(x)-a_{n+1}(x)\right| \leq K, \forall m \geq 1
$$

证明：如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收敛，$\displaystyle c_{n} \geq 0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} a_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛。

四．（15 分）计算积分 $\displaystyle I(b)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{b+\tan x}, b>0$ ．