中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
8．设 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 被平面 $x+y+z=0$ 所截得的圆周，计算积分 $\int_{L} x^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲线与对称性
球面方程为 $x^2+y^2+z^2=4$，平面方程为 $x+y+z=0$。平面过原点，因此球心到平面的距离为0，截得的圆周半径等于球半径，即 $R=2$。由于平面 $x+y+z=0$ 关于 $x,y,z$ 完全对称，曲线 $L$ 上三个变量的地位相同。
公式：$R=2$
提示：注意平面过球心时，截圆半径等于球半径。
步骤 2/5
目标：利用对称性简化被积函数
由对称性可知，$\int_L x^2 \, ds = \int_L y^2 \, ds = \int_L z^2 \, ds$。因此有 $\int_L x^2 \, ds = \frac{1}{3} \int_L (x^2+y^2+z^2) \, ds$。
公式：$\int_L x^2 \, ds = \frac{1}{3} \int_L (x^2+y^2+z^2) \, ds$
提示：对称性成立的前提是曲线在变量置换下不变。
步骤 3/5
目标：代入球面方程
在曲线 $L$ 上每一点都满足球面方程，即 $x^2+y^2+z^2=4$。代入得 $\int_L x^2 \, ds = \frac{1}{3} \int_L 4 \, ds = \frac{4}{3} \int_L ds$。
公式：$x^2+y^2+z^2=4$
提示：注意被积函数中的 $x^2+y^2+z^2$ 在曲线上是常数，可直接提出。
步骤 4/5
目标：计算圆周长度
$\int_L ds$ 是圆周 $L$ 的周长。已知圆的半径为 $2$，所以周长为 $2\pi \times 2 = 4\pi$。
公式：$\int_L ds = 4\pi$
提示：圆周长的公式为 $2\pi R$，这里 $R=2$。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
将周长代入得 $\int_L x^2 \, ds = \frac{4}{3} \times 4\pi = \frac{16\pi}{3}$。
公式：$\frac{4}{3} \times 4\pi = \frac{16\pi}{3}$
提示：最终结果需化简为最简分数形式。
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