中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）计算积分 $\displaystyle I(b)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{b+\tan x}, b>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量代换，将积分区间转化为无穷区间
令 $t = \tan x$，则 $x = \arctan t$，$\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}$。当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时 $t \to +\infty$。原积分化为：
$$ I(b) = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{b+t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}t}{(b+t)(1+t^2)} $$
公式：$$ I(b) = \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}t}{(b+t)(1+t^2)} $$
提示：注意 $\tan x$ 在 $x \to \frac{\pi}{2}^-$ 时趋于无穷，代换后积分上限变为无穷，需处理广义积分。
步骤 2/5
目标：有理函数的部分分式分解
设 $$ \frac{1}{(b+t)(1+t^2)} = \frac{A}{b+t} + \frac{Bt + C}{1+t^2} $$ 两边乘以分母 $(b+t)(1+t^2)$ 得：
$$ 1 = A(1+t^2) + (Bt+C)(b+t) $$ 展开并合并同类项：
$$ 1 = (A+B)t^2 + (Bb + C)t + (A + Cb) $$ 比较系数得方程组：
$$ \begin{cases} A + B = 0 \\ Bb + C = 0 \\ A + Cb = 1 \end{cases} $$ 解得：
$$ A = \frac{1}{1+b^2},\quad B = -\frac{1}{1+b^2},\quad C = \frac{b}{1+b^2} $$
公式：$$ \frac{1}{(b+t)(1+t^2)} = \frac{1}{1+b^2}\left( \frac{1}{b+t} - \frac{t}{1+t^2} + \frac{b}{1+t^2} \right) $$
提示：分解时注意分母 $1+t^2$ 对应分子为一次式 $Bt+C$，不要遗漏常数项。
步骤 3/5
目标：将积分拆分为三个部分并分别处理
由分解结果：
$$ I(b) = \frac{1}{1+b^2} \left[ \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}t}{b+t} - \int_{0}^{\infty} \frac{t}{1+t^2} \mathrm{d}t + b \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} \right] $$ 其中第三个积分直接计算：
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = \frac{\pi}{2} $$ 前两个积分单独发散，但它们的差收敛，需合并处理。
公式：$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = \frac{\pi}{2} $$
提示：不要单独计算发散积分，应合并为收敛组合后再积分。
步骤 4/5
目标：合并前两项并计算其积分值
考虑前两项的差：
$$ \int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{b+t} - \frac{t}{1+t^2} \right) \mathrm{d}t $$ 注意到 $\frac{t}{1+t^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2t}{1+t^2}$，其原函数为 $\frac{1}{2} \ln(1+t^2)$。因此被积函数的原函数为：
$$ \ln(b+t) - \frac{1}{2} \ln(1+t^2) = \ln \frac{b+t}{\sqrt{1+t^2}} $$ 计算定积分（上限取 $M$ 后取极限）：
$$ \int_{0}^{M} \left( \frac{1}{b+t} - \frac{t}{1+t^2} \right) \mathrm{d}t = \left. \ln \frac{b+t}{\sqrt{1+t^2}} \right|_{0}^{M} = \ln \frac{b+M}{\sqrt{1+M^2}} - \ln b $$ 当 $M \to \infty$ 时，$\frac{b+M}{\sqrt{1+M^2}} \sim \frac{M}{M} = 1$，极限为 $\ln 1 = 0$，故：
$$ \int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{b+t} - \frac{t}{1+t^2} \right) \mathrm{d}t = -\ln b $$
公式：$$ \int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{b+t} - \frac{t}{1+t^2} \right) \mathrm{d}t = -\ln b $$
提示：计算极限时注意 $\frac{b+M}{\sqrt{1+M^2}} \to 1$，不要误以为发散。
步骤 5/5
目标：合并所有部分得到最终结果
将第三步和第四步的结果代入：
$$ I(b) = \frac{1}{1+b^2} \left( -\ln b + b \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \frac{b\pi/2 - \ln b}{1+b^2} $$ 整理为更整齐的形式：
$$ I(b) = \frac{b\pi - 2\ln b}{2(1+b^2)} $$
公式：$$ I(b) = \frac{b\pi - 2\ln b}{2(1+b^2)} $$
提示：最终结果中 $b>0$，$\ln b$ 定义良好，分母恒正。
步骤 6/7
目标：计算剩余积分
$$\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = \left. \arctan t \right|_0^{+\infty} = \frac{\pi}{2}.$$
公式：$\int \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t = \arctan t + C$
提示：注意 $\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$。
步骤 7/7
目标：合并结果
将上述结果代入：$$I(b) = \frac{1}{1+b^2} \left( -\ln b + b \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \frac{b\pi}{2(1+b^2)} - \frac{\ln b}{1+b^2}.$$
提示：最终结果要化简，注意 $b>0$ 保证对数有意义。
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