中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{2}+\sin x}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量代换，将三角函数积分转化为有理函数积分
令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则 $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$，$dx = \frac{2}{1+t^2} dt$。当 $x$ 从 $0$ 到 $\pi$ 时，$t$ 从 $0$ 到 $+\infty$。原积分化为：
$$I = \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{\sqrt{2} + \sin x} = \int_{0}^{\infty} \frac{\frac{2}{1+t^2}}{\sqrt{2} + \frac{2t}{1+t^2}} \, dt$$
公式：t = \tan\frac{x}{2},\quad \sin x = \frac{2t}{1+t^2},\quad dx = \frac{2}{1+t^2}dt
提示：注意积分限的变化：$x=0$ 对应 $t=0$，$x=\pi$ 对应 $t\to+\infty$，不要遗漏无穷限。
步骤 2/5
目标：化简被积函数，得到关于t的有理函数积分
分母通分：$\sqrt{2} + \frac{2t}{1+t^2} = \frac{\sqrt{2}(1+t^2) + 2t}{1+t^2}$。于是被积函数化为：
$$\frac{2}{1+t^2} \cdot \frac{1+t^2}{\sqrt{2}(1+t^2) + 2t} = \frac{2}{\sqrt{2}(1+t^2) + 2t}$$
因此
$$I = \int_{0}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{2} t^2 + 2t + \sqrt{2}} \, dt$$
公式：\frac{2}{\sqrt{2}(1+t^2) + 2t} = \frac{2}{\sqrt{2}t^2 + 2t + \sqrt{2}}
提示：化简时注意分子分母约去 $(1+t^2)$，避免计算错误。
步骤 3/5
目标：整理分母二次式，提取公因子并配方
提取 $\sqrt{2}$：
$$\sqrt{2} t^2 + 2t + \sqrt{2} = \sqrt{2}\left(t^2 + \frac{2}{\sqrt{2}}t + 1\right) = \sqrt{2}\left(t^2 + \sqrt{2}t + 1\right)$$
于是
$$I = \frac{2}{\sqrt{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{t^2 + \sqrt{2}t + 1} = \sqrt{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{t^2 + \sqrt{2}t + 1}$$
对分母配方：
$$t^2 + \sqrt{2}t + 1 = \left(t + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1 - \frac{1}{2} = \left(t + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$$
所以
$$I = \sqrt{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{\left(t + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}}$$
公式：t^2 + \sqrt{2}t + 1 = \left(t + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}
提示：配方时注意常数项的正确计算：$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$，所以 $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
步骤 4/5
目标：换元并利用反正切公式求积分
令 $u = t + \frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $dt = du$，当 $t=0$ 时 $u = \frac{\sqrt{2}}{2}$，当 $t\to\infty$ 时 $u\to\infty$。于是
$$I = \sqrt{2} \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\infty} \frac{du}{u^2 + \frac{1}{2}}$$
利用公式 $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\frac{u}{a}$，这里 $a^2 = \frac{1}{2}$，$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$。因此
$$I = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{1/\sqrt{2}} \left[ \arctan\left( \frac{u}{1/\sqrt{2}} \right) \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\infty} = 2 \left[ \arctan(\sqrt{2}u) \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\infty}$$
公式：\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\frac{u}{a}
提示：代入上下限时注意：$\arctan(\infty) = \frac{\pi}{2}$，且 $\sqrt{2} \cdot \frac{1}{1/\sqrt{2}} = 2$，不要算错系数。
步骤 5/5
目标：计算具体数值，得到最终结果
计算下限：$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$，所以
$$I = 2 \left( \frac{\pi}{2} - \arctan 1 \right) = 2 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$
公式：\arctan 1 = \frac{\pi}{4}
提示：注意 $\arctan(\sqrt{2}u)$ 在 $u\to\infty$ 时趋于 $\frac{\pi}{2}$，这是常见极限值。
步骤 6/7
目标：换元并利用反正切积分公式
令 $u = t + \frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $t=0$ 时 $u = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$t\to\infty$ 时 $u\to\infty$，$dt = du$。于是
\[
I = \sqrt{2} \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\infty} \frac{du}{u^2 + \frac{1}{2}}
\]
已知 $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\frac{u}{a}$，这里 $a^2 = \frac{1}{2}$，$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$。所以
\[
I = \sqrt{2} \cdot \left[ \frac{1}{1/\sqrt{2}} \arctan\left( \frac{u}{1/\sqrt{2}} \right) \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\infty} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \left[ \arctan(\sqrt{2}u) \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\infty} = 2 \left[ \frac{\pi}{2} - \arctan\left( \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right]
\]
公式：\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\frac{u}{a}
提示：注意 $\arctan(\infty) = \frac{\pi}{2}$，且 $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$。
步骤 7/7
目标：计算最终结果
计算：
\[
\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1, \quad \arctan 1 = \frac{\pi}{4}
\]
所以
\[
I = 2\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}
\]
公式：\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}, \quad 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}
提示：注意反正切值计算准确，避免符号错误。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。