中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
11．设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 2 n x}{n}$ ，则 $\displaystyle S\left(\frac{\pi}{6}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别级数形式并回忆已知傅里叶级数公式
题目给出函数项级数 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 2 n x}{n}$。回忆经典傅里叶级数结果：对于 $x \in (0, 2\pi)$，有 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n} = \frac{\pi - x}{2}$。该公式在区间内部成立，端点处收敛到左右极限的平均值。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n} = \frac{\pi - x}{2}, \quad x \in (0, 2\pi)$
提示：注意公式的适用区间，避免在端点直接代入。
步骤 2/6
目标：变量代换，将题目级数转化为标准形式
令 $t = 2x$，则 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2nx)}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nt)}{n}$。此时 $S(x)$ 转化为关于 $t$ 的标准傅里叶级数形式。
公式：$t = 2x$，$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nt)}{n}$
提示：代换后注意新变量 $t$ 的取值范围与 $x$ 的关系。
步骤 3/6
目标：代入具体数值 $x = \frac{\pi}{6}$
当 $x = \frac{\pi}{6}$ 时，$t = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$。因此 $S\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(n \cdot \frac{\pi}{3}\right)}{n}$。
公式：$t = \frac{\pi}{3}$
提示：计算 $t$ 时注意乘法运算的准确性。
步骤 4/6
目标：应用已知公式计算级数和
由于 $t = \frac{\pi}{3} \in (0, 2\pi)$，可直接代入公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(n \cdot \frac{\pi}{3}\right)}{n} = \frac{\pi - \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nt)}{n} = \frac{\pi - t}{2}$，代入 $t = \frac{\pi}{3}$ 得 $\frac{\pi}{3}$
提示：确保 $t$ 不在区间端点（0或$2\pi$），否则需取左右极限平均值。
步骤 5/6
目标：验证收敛性条件
$t = \frac{\pi}{3}$ 不是 $2\pi$ 的整数倍，且不是使 $\sin(nt)$ 恒为零的端点值，因此级数收敛到公式给出的值，无需特殊处理。
公式：无
提示：若 $t$ 为 $\pi$ 的整数倍，需注意级数可能条件收敛，但此处无此问题。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此 $S\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3}$。
公式：$S\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3}$
提示：最终答案以最简形式呈现。
步骤 7/7
目标：代入 $x = \pi/6$ 计算
当 $x = \frac{\pi}{6}$ 时，$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} > 0$，满足条件。代入得 $S\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$。
提示：注意检查 $\sin x$ 的正负，否则结果不同。
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