中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
10．如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{p \ln n}{2 n}\right)^{n}$ 是收玫的，则 $p$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出通项并取对数
设 $a_n = \left(1-\frac{p \ln n}{2 n}\right)^{n}$，则 $\ln a_n = n \ln\left(1-\frac{p \ln n}{2n}\right)$。
公式：$\ln a_n = n \ln\left(1-\frac{p \ln n}{2n}\right)$
提示：注意对数的定义域：$1-\frac{p \ln n}{2n}>0$ 对充分大的 $n$ 成立。
步骤 2/6
目标：对对数进行泰勒展开
当 $n$ 很大时，$\frac{p \ln n}{2n}$ 很小，利用 $\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \cdots$，取 $x = \frac{p \ln n}{2n}$，得 $\ln a_n = n\left(-\frac{p \ln n}{2n} - \frac{p^2 (\ln n)^2}{8n^2} + O\left(\frac{(\ln n)^3}{n^3}\right)\right) = -\frac{p}{2}\ln n - \frac{p^2 (\ln n)^2}{8n} + O\left(\frac{(\ln n)^3}{n^2}\right)$。
公式：$\ln a_n = -\frac{p}{2}\ln n - \frac{p^2 (\ln n)^2}{8n} + O\left(\frac{(\ln n)^3}{n^2}\right)$
提示：展开时注意保留主要项，高阶项在 $n \to \infty$ 时趋于0。
步骤 3/6
目标：得到通项的渐近等价形式
忽略高阶项，当 $n \to \infty$ 时，$\ln a_n \sim -\frac{p}{2}\ln n$，因此 $a_n \sim n^{-p/2}$。
公式：$a_n \sim n^{-p/2}$
提示：渐近等价意味着 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n^{-p/2}} = 1$。
步骤 4/6
目标：利用比较判别法确定收敛条件
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{-p/2}$ 是 $p$-级数，收敛当且仅当 $\frac{p}{2} > 1$，即 $p > 2$。由比较判别法，原级数与 $\sum n^{-p/2}$ 同敛散，故原级数收敛当且仅当 $p > 2$。
公式：$\sum n^{-\alpha}$ 收敛 $\iff \alpha > 1$，此处 $\alpha = p/2$
提示：比较判别法要求通项非负且渐近等价，这里 $a_n > 0$ 对充分大的 $n$ 成立。
步骤 5/6
目标：检查边界情况 $p=2$
当 $p=2$ 时，$a_n \sim n^{-1}$，但更精确的展开：$\ln a_n = -\ln n - \frac{(\ln n)^2}{2n} + \cdots$，故 $a_n = \frac{1}{n} e^{-(\ln n)^2/(2n)+\cdots}$，其阶仍为 $1/n$，因此级数发散（类似调和级数）。
公式：$p=2$ 时 $a_n \sim \frac{1}{n}$
提示：边界情况需单独验证，因为渐近等价可能丢失常数因子，但此处发散性不变。
步骤 6/6
目标：总结收敛范围
综合以上分析，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{p \ln n}{2 n}\right)^{n}$ 收敛当且仅当 $p > 2$。
公式：$p > 2$
提示：注意 $p$ 为实数，且 $p$ 过小会导致通项衰减太慢而发散。
步骤 7/8
目标：检查 $p<2$ 的情况
若 $p<2$，则 $p/2 < 1$，$n^{-p/2}$ 发散，且原通项与 $n^{-p/2}$ 同阶，故级数发散。
公式：$p<2 \Rightarrow \frac{p}{2}<1 \Rightarrow \sum n^{-p/2}$ 发散
提示：比较判别法要求通项非负，这里通项最终为正，适用。
步骤 8/8
目标：总结收敛条件
综合以上分析，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{p \ln n}{2 n}\right)^{n}$ 收敛当且仅当 $p > 2$。
公式：收敛条件：$p > 2$
提示：答案需写成区间形式 $(2, +\infty)$。
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