中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．曲线由参数方程 $x=t, y=t^{2}$ 给出，求该曲线在 $t=1$ 处的曲率 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确曲率公式
对于参数方程 $x=x(t), y=y(t)$，曲率公式为：
$$\kappa = \frac{|x'(t) y''(t) - y'(t) x''(t)|}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}$$
公式：$$\kappa = \frac{|x'(t) y''(t) - y'(t) x''(t)|}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}$$
提示：注意公式中的分子是绝对值，分母是 $(x')^2+(y')^2$ 的 $\frac{3}{2}$ 次方，不要漏掉指数。
步骤 2/6
目标：求一阶导数
已知 $x(t)=t$，$y(t)=t^2$，则
$$x'(t)=1, \quad y'(t)=2t$$
公式：$$x'(t)=1, \quad y'(t)=2t$$
提示：对 $t$ 求导时，$t$ 的导数为1，$t^2$ 的导数为 $2t$。
步骤 3/6
目标：求二阶导数
对一阶导数继续求导：
$$x''(t)=0, \quad y''(t)=2$$
公式：$$x''(t)=0, \quad y''(t)=2$$
提示：常数1的导数为0，$2t$ 的导数为2。
步骤 4/6
目标：计算分子
代入公式分子：
$$|x'(t) y''(t) - y'(t) x''(t)| = |1 \cdot 2 - 2t \cdot 0| = |2| = 2$$
公式：$$|x'(t) y''(t) - y'(t) x''(t)| = 2$$
提示：注意 $x''(t)=0$，所以第二项为零，分子恒为2，与 $t$ 无关。
步骤 5/6
目标：计算分母
分母为：
$$\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2} = \left( 1^2 + (2t)^2 \right)^{3/2} = (1 + 4t^2)^{3/2}$$
公式：$$\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2} = (1+4t^2)^{3/2}$$
提示：先计算 $1+4t^2$，再取 $\frac{3}{2}$ 次方，即先平方再开方再乘一次方，或直接理解为 $\sqrt{(1+4t^2)^3}$。
步骤 6/6
目标：代入 $t=1$ 求曲率
当 $t=1$ 时，分子仍为2，分母为：
$$(1+4\cdot 1^2)^{3/2} = 5^{3/2} = 5\sqrt{5}$$
因此曲率：
$$\kappa = \frac{2}{5\sqrt{5}}$$
公式：$$\kappa = \frac{2}{5\sqrt{5}}$$
提示：$5^{3/2} = 5 \times 5^{1/2} = 5\sqrt{5}$，不要误算为 $\sqrt{125}$ 而忘记化简。
步骤 7/7
目标：计算曲率并化简
曲率 $k = \frac{2}{5\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{25}$。
提示：分母有理化，分子分母同乘 $\sqrt{5}$。
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