中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
9．级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1^{n}+2^{n}+\cdots+10^{n}}{n(\ln n)^{2}} e^{n x}$ 的一致收敛区域为 $\_\_\_\_$ .
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析通项结构，简化分子
分子为 $1^n + 2^n + \cdots + 10^n$。当 $n$ 很大时，最大项为 $10^n$，其余项相对可忽略。因此有 $1^n + 2^n + \cdots + 10^n \sim 10^n$，且存在常数 $C_1, C_2 > 0$ 使得 $C_1 10^n \le 1^n + \cdots + 10^n \le C_2 10^n$。
公式：1^n + 2^n + \cdots + 10^n \sim 10^n
提示：注意指数增长下，最大项主导，但需确认上下界存在。
步骤 2/5
目标：写出通项的等价形式
通项 $u_n(x) = \frac{1^n+2^n+\cdots+10^n}{n(\ln n)^2} e^{nx}$ 近似为 $\frac{10^n}{n(\ln n)^2} e^{nx} = \frac{1}{n(\ln n)^2} (10 e^x)^n$。
公式：u_n(x) \approx \frac{1}{n(\ln n)^2} (10 e^x)^n
提示：将级数视为以 $10e^x$ 为公比的广义幂级数。
步骤 3/5
目标：确定逐点收敛的 x 范围
考虑 $10 e^x$ 的大小：
- 若 $10 e^x < 1$，即 $x < -\ln 10$，则 $(10 e^x)^n$ 指数衰减，级数绝对收敛。
- 若 $10 e^x = 1$，即 $x = -\ln 10$，则通项变为 $\frac{1}{n(\ln n)^2}$，级数收敛（$p=2>1$）。
- 若 $10 e^x > 1$，即 $x > -\ln 10$，则通项指数增长，级数发散。
因此逐点收敛区间为 $x \le -\ln 10$。
公式：x \le -\ln 10
提示：端点处需单独验证，利用 $\sum \frac{1}{n(\ln n)^p}$ 的收敛性。
步骤 4/5
目标：判断一致收敛区域
对于任意 $a < -\ln 10$，在区间 $(-\infty, a]$ 上，有 $10 e^x \le 10 e^a = r < 1$，从而 $|u_n(x)| \le \frac{r^n}{n(\ln n)^2}$。级数 $\sum \frac{r^n}{n(\ln n)^2}$ 收敛（$0
公式：(-\infty, -\ln 10)
提示：一致收敛需闭区间上界严格小于临界值，端点处通常不包含。
步骤 5/5
目标：总结最终答案
综合以上分析，级数的一致收敛区域为 $(-\infty, -\ln 10)$。
公式：\boxed{(-\infty, -\ln 10)}
提示：注意 $\ln 10$ 是自然对数，答案以区间形式给出。
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