中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln (x y)=x^{2}-y^{2}$ 隐式定义，求点 $(x, y)=(1,1)$ 处的导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}(1,1)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将原方程化简，便于求导
原方程为 $\ln(xy) = x^2 - y^2$，利用对数性质 $\ln(xy) = \ln x + \ln y$，得到 $\ln x + \ln y = x^2 - y^2$。
公式：$\ln(xy) = \ln x + \ln y$
提示：注意对数定义域：$x>0, y>0$，点$(1,1)$满足条件。
步骤 2/5
目标：对化简后的方程两边关于 $x$ 求导
对 $\ln x + \ln y = x^2 - y^2$ 两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$，$\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$，$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$，$\frac{d}{dx}(-y^2) = -2y \cdot \frac{dy}{dx}$。
公式：$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \cdot y' = 2x - 2y \cdot y'$
提示：求导时不要忘记 $y$ 是 $x$ 的函数，对 $y$ 的函数求导要乘以 $y'$。
步骤 3/5
目标：整理方程，将含有 $y'$ 的项移到一边
将 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} y' = 2x - 2y y'$ 移项，得到 $\frac{1}{y} y' + 2y y' = 2x - \frac{1}{x}$。
公式：$\frac{1}{y} y' + 2y y' = 2x - \frac{1}{x}$
提示：移项时注意符号变化，将 $\frac{1}{x}$ 移到右边要变号。
步骤 4/5
目标：提取公因子 $y'$，解出 $y'$
左边提取 $y'$：$y' \left( \frac{1}{y} + 2y \right) = 2x - \frac{1}{x}$，所以 $y' = \frac{2x - \frac{1}{x}}{\frac{1}{y} + 2y}$。
公式：$y' = \frac{2x - \frac{1}{x}}{\frac{1}{y} + 2y}$
提示：分母不能为零，代入点时要检查分母是否为零。
步骤 5/5
目标：代入点 $(x,y)=(1,1)$ 计算导数值
代入 $x=1, y=1$：分子 $2 \cdot 1 - \frac{1}{1} = 2 - 1 = 1$，分母 $\frac{1}{1} + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$，所以 $y'(1,1) = \frac{1}{3}$。
公式：$y'(1,1) = \frac{1}{3}$
提示：代入时要仔细计算，避免算术错误。
步骤 6/7
目标：化简导数表达式
化简：$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2x^2 - 1}{x}}{\frac{1 + 2y^2}{y}} = \frac{2x^2 - 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + 2y^2} = \frac{y(2x^2 - 1)}{x(1 + 2y^2)}$。
提示：化简时注意分子分母的运算顺序，避免符号错误。
步骤 7/7
目标：代入点求值
代入 $(x,y) = (1,1)$：$\frac{dy}{dx}(1,1) = \frac{1 \cdot (2 \cdot 1^2 - 1)}{1 \cdot (1 + 2 \cdot 1^2)} = \frac{1 \cdot (2-1)}{1 \cdot (1+2)} = \frac{1}{3}$。
提示：代入时注意 $x$ 和 $y$ 的值是否满足原方程，确保点 $(1,1)$ 在曲线上。
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