中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6．求函数 $\mu(x, y, z)=x y^{2}+z^{3}-x y z$ 在点 $(1,1,2)$ 处沿方向 $\displaystyle l=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 的方向导数 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：检查方向向量是否为单位向量
计算方向向量 $l = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 的模长：
$$
\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1
$$
模长为1，因此该方向向量是单位向量，可以直接用于方向导数的计算。
公式：$\|l\| = \sqrt{l_x^2 + l_y^2 + l_z^2}$
提示：方向导数公式要求方向向量必须是单位向量，若未单位化，需先除以模长。
步骤 2/4
目标：计算函数μ的梯度
梯度 $\nabla \mu = \left( \frac{\partial \mu}{\partial x}, \frac{\partial \mu}{\partial y}, \frac{\partial \mu}{\partial z} \right)$，分别求偏导：
- 对 $x$：$\frac{\partial \mu}{\partial x} = y^2 - yz$
- 对 $y$：$\frac{\partial \mu}{\partial y} = 2xy - xz$
- 对 $z$：$\frac{\partial \mu}{\partial z} = 3z^2 - xy$
公式：$\nabla \mu = \left( \frac{\partial \mu}{\partial x}, \frac{\partial \mu}{\partial y}, \frac{\partial \mu}{\partial z} \right)$
提示：求偏导时，将其他变量视为常数，注意乘法法则。
步骤 3/4
目标：代入给定点(1,1,2)计算梯度值
将 $x=1, y=1, z=2$ 代入偏导表达式：
- $\mu_x(1,1,2) = 1^2 - 1 \cdot 2 = 1 - 2 = -1$
- $\mu_y(1,1,2) = 2 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = 2 - 2 = 0$
- $\mu_z(1,1,2) = 3 \cdot 2^2 - 1 \cdot 1 = 12 - 1 = 11$
因此梯度为 $\nabla \mu(1,1,2) = (-1, 0, 11)$。
公式：$\nabla \mu(1,1,2) = (-1, 0, 11)$
提示：代入数值时仔细计算，避免算术错误。
步骤 4/4
目标：计算方向导数
方向导数等于梯度与方向向量的点积：
$$
D_l \mu = \nabla \mu \cdot l = (-1) \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 11 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{11}{2} = \frac{10}{2} = 5
$$
公式：$D_l \mu = \nabla \mu \cdot l$
提示：点积计算时注意符号和分数运算，最终结果化简。
步骤 5/5
目标：计算方向导数
方向导数为梯度与方向向量的点积：
\[
\frac{\partial \mu}{\partial l} = (-1, 0, 11) \cdot \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)
= (-1)\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + 11\cdot\frac{1}{2}
= -\frac{1}{2} + \frac{11}{2} = \frac{10}{2} = 5
\]
公式：\frac{\partial \mu}{\partial l} = \nabla \mu \cdot \mathbf{l}
提示：点积计算时注意各项符号，最后结果化简为最简分数或整数。
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