中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
7．计算积分 $\displaystyle \iiint_{0 \leq s \leq 1, s \leq t \leq \sqrt{s}} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确积分类型与区域
题目中虽然使用了三重积分符号，但积分变量只有 $t$ 和 $s$，因此实际为二重积分。积分区域由条件 $0 \leq s \leq 1$ 和 $s \leq t \leq \sqrt{s}$ 确定。注意在 $0 < s < 1$ 时，$\sqrt{s} > s$，区域非空。
公式：$$\iint_{0 \leq s \leq 1,\, s \leq t \leq \sqrt{s}} \frac{\sin t}{t} \, dt \, ds$$
提示：注意区分三重积分与二重积分的符号，这里实际上是二重积分。
步骤 2/8
目标：交换积分次序
原积分次序为先 $t$ 后 $s$，但被积函数仅依赖于 $t$，交换次序更简便。由 $s \leq t$ 和 $t \leq \sqrt{s}$ 可得 $t^2 \leq s \leq t$，且 $t$ 需满足 $0 \leq t \leq 1$。因此新积分次序为：$t$ 从 $0$ 到 $1$，$s$ 从 $t^2$ 到 $t$。
公式：$$\int_{t=0}^1 \int_{s=t^2}^{t} \frac{\sin t}{t} \, ds \, dt$$
提示：交换次序时需准确解出 $s$ 的范围，注意 $t^2 \leq t$ 给出 $0 \leq t \leq 1$。
步骤 3/8
目标：计算内层积分
内层对 $s$ 积分时，$\frac{\sin t}{t}$ 视为常数，积分长度为 $t - t^2$。因此内层结果为：$$\frac{\sin t}{t} \cdot (t - t^2) = \sin t \cdot (1 - t)$$
公式：$$\int_{s=t^2}^{t} \frac{\sin t}{t} \, ds = \sin t \cdot (1 - t)$$
提示：注意 $\frac{\sin t}{t}$ 在 $t=0$ 处有极限 $1$，但积分区间不含 $t=0$ 点，不影响计算。
步骤 4/8
目标：化为定积分并拆分
原积分化为：$$\int_0^1 (1-t) \sin t \, dt = \int_0^1 \sin t \, dt - \int_0^1 t \sin t \, dt$$
公式：$$\int_0^1 (1-t) \sin t \, dt$$
提示：拆分后分别计算两个简单积分。
步骤 5/8
目标：计算第一个积分
$$\int_0^1 \sin t \, dt = [-\cos t]_0^1 = -\cos 1 + \cos 0 = 1 - \cos 1$$
公式：$$\int_0^1 \sin t \, dt = 1 - \cos 1$$
提示：注意 $\cos 0 = 1$。
步骤 6/8
目标：用分部积分计算第二个积分
令 $u = t$，$dv = \sin t \, dt$，则 $du = dt$，$v = -\cos t$。于是：$$\int_0^1 t \sin t \, dt = \left[-t \cos t\right]_0^1 + \int_0^1 \cos t \, dt = (-\cos 1) + [\sin t]_0^1 = -\cos 1 + \sin 1$$
公式：$$\int_0^1 t \sin t \, dt = -\cos 1 + \sin 1$$
提示：分部积分时注意符号，$\int \sin t \, dt = -\cos t$。
步骤 7/8
目标：合并结果
原积分 = $(1 - \cos 1) - (-\cos 1 + \sin 1) = 1 - \cos 1 + \cos 1 - \sin 1 = 1 - \sin 1$
公式：$$\iint \frac{\sin t}{t} \, dt \, ds = 1 - \sin 1$$
提示：注意合并时符号要仔细。
步骤 8/8
目标：得出最终答案
因此所求积分的值为 $1 - \sin 1$。
公式：$$\boxed{1 - \sin 1}$$
提示：最终结果可保留为 $1 - \sin 1$，无需近似。
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