中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
12． $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分收敛性
当 $x \to 0^+$ 时，$\ln\frac{1+x}{1-x} \sim 2x$，所以被积函数 $\frac{1}{x} \cdot 2x = 2$，无奇点，积分收敛。当 $x \to 1^-$ 时，$\frac{1+x}{1-x} \to +\infty$，对数发散但速度较慢，积分仍收敛。
公式：$\ln\frac{1+x}{1-x} \sim 2x \quad (x \to 0)$
提示：注意在端点处的行为，确保积分有意义。
步骤 2/5
目标：将被积函数展开为幂级数
利用对数函数的级数展开：对于 $|x|<1$，有 $\ln\frac{1+x}{1-x} = 2\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots\right) = 2\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$。于是 $\frac{1}{x} \ln\frac{1+x}{1-x} = \frac{1}{x} \cdot 2\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = 2\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{2n+1}$。
公式：$\ln\frac{1+x}{1-x} = 2\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
提示：注意展开式的适用范围是 $|x|<1$，积分区间 $[0,1]$ 内除端点外均满足。
步骤 3/5
目标：逐项积分
将级数逐项积分：$\int_0^1 2\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{2n+1} \, dx = 2\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} \int_0^1 x^{2n} \, dx$。计算 $\int_0^1 x^{2n} \, dx = \frac{1}{2n+1}$，所以原积分化为 $2\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$。
公式：$\int_0^1 x^{2n} \, dx = \frac{1}{2n+1}$
提示：逐项积分在一致收敛的条件下成立，这里级数在 $[0,1]$ 内闭一致收敛，可逐项积分。
步骤 4/5
目标：计算奇数平方倒数和
已知全体自然数平方倒数和 $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$。偶数部分：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{24}$。因此奇数部分：$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}{8}$。
公式：$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$
提示：注意区分奇偶项，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
将奇数平方倒数和代入：原积分 $= 2 \cdot \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi^2}{4}$。
公式：$\int_0^1 \frac{1}{x} \ln \frac{1+x}{1-x} \, dx = \frac{\pi^2}{4}$
提示：最终结果简洁，注意检查计算过程。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
因此，原积分的值为 $\frac{\pi^2}{4}$。
提示：最终答案需化简为最简分数形式。
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