中山大学 2026年数学分析第0题

已知函数列 $\{a_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上有定义，且存在常数 $K$（与 $x,n$ 无关），使得 $|a_1(x)| \leq K$，且对任意正整数 $m$ 有 $\sum_{n=1}^m |a_n(x)-a_{n+1}(x)| \leq K$。另外，级数 $\sum_{n=1}^\infty c_n$ 收敛，且 $c_n \geq 0$。要证明级数 $\sum_{n=1}^\infty c_n a_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。

由条件，对任意 $x \in [0,1]$ 和任意 $n \geq 1$，有 $|a_n(x)| \leq |a_1(x)| + \sum_{k=1}^{n-1} |a_k(x)-a_{k+1}(x)| \leq K + K = 2K$。因此 $\{a_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上一致有界，界为 $2K$。

对固定的 $x$，令 $C_n = \sum_{k=1}^n c_k$，则 $C_n$ 单调递增且收敛到 $C$（因为 $c_n \geq 0$ 且 $\sum c_n$ 收敛）。由阿贝尔分部求和公式： $$ \sum_{n=N+1}^{N+p} c_n a_n(x) = \sum_{n=N+1}^{N+p-1} \left(\sum_{k=N+1}^n c_k\right) (a_n(x)-a_{n+1}(x)) + \left(\sum_{k=N+1}^{N+p} c_k\right) a_{N+p}(x) $$ 记 $D_n = \sum_{k=N+1}^n c_k$，则 $D_n$ 是收敛级数的尾部部分和。

由于 $\sum_{n=1}^\infty c_n$ 收敛，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_0$，使得当 $N \geq N_0$ 时，对任意 $n \geq N$ 有 $\sum_{k=n}^\infty c_k < \varepsilon$。从而 $D_n \leq \sum_{k=N+1}^\infty c_k < \varepsilon$，且 $D_{N+p} < \varepsilon$。这个估计与 $x$ 和 $p$ 无关。

对任意 $x \in [0,1]$，当 $N \geq N_0$ 时，有 $$ \left|\sum_{n=N+1}^{N+p} c_n a_n(x)\right| \leq \sum_{n=N+1}^{N+p-1} |D_n|\,|a_n(x)-a_{n+1}(x)| + |D_{N+p}|\,|a_{N+p}(x)| $$ 由 $|D_n|<\varepsilon$，$\sum_{n=N+1}^{N+p-1}|a_n-a_{n+1}| \leq K$，以及 $|a_{N+p}(x)| \leq 2K$，得 $$ \left|\sum_{n=N+1}^{N+p} c_n a_n(x)\right| < \varepsilon \cdot K + \varepsilon \cdot 2K = 3K\varepsilon $$ 该上界与 $x$ 和 $p$ 无关，因此由柯西一致收敛准则，级数 $\sum_{n=1}^\infty c_n a_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。