中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在（ 0,1 ）上有定义，$\displaystyle f(x) \tan x$ 单调递增， $\displaystyle \tan (f(x))$ 单调递减，证明：$\displaystyle f(x)$ 在（ 0,1 ）上连续。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：整理已知条件并分析函数性质
已知 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有定义，且 $g(x)=f(x)\tan x$ 单调递增，$h(x)=\tan(f(x))$ 单调递减。由于在 $(0,1)$ 上 $\tan x>0$ 且严格递增，因此 $g(x)$ 的单调性给出了 $f(x)$ 的一个下界关系：对任意 $0
公式：g(x)=f(x)\tan x,\quad h(x)=\tan(f(x))
提示：注意 $\tan x$ 在 $(0,1)$ 上为正且严格递增，这是后续推导的基础。
步骤 2/4
目标：推导 $f(x)$ 的单调性
取任意 $0
公式：x_1
提示：正切函数在 $(-\pi/2,\pi/2)$ 上严格递增，但需注意 $f(x)$ 的值域可能跨越渐近线，需结合单调性排除跳跃。
步骤 3/4
目标：假设存在跳跃间断点并导出矛盾
由于 $f(x)$ 单调递减，其可能的间断点只能是跳跃间断点。假设存在 $x_0\in(0,1)$ 使得 $f$ 在 $x_0$ 处有跳跃，即左极限 $A=\lim_{x\to x_0^-}f(x)$ 大于右极限 $B=\lim_{x\to x_0^+}f(x)$。由 $g(x)=f(x)\tan x$ 单调递增，对任意 $x0$，推出 $A\le B$，与 $A>B$ 矛盾。故 $f(x)$ 无跳跃间断点。
公式：A\tan x_0\le B\tan x_0,\quad \tan x_0>0 \Rightarrow A\le B
提示：利用 $g(x)$ 的单调性取极限时，需注意 $\tan x_0$ 的正定性，这是导出矛盾的关键。
步骤 4/4
目标：得出结论
单调函数若无跳跃间断点，则必连续。因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上连续。
公式：\text{单调函数} + \text{无跳跃间断点} \Rightarrow \text{连续}
提示：单调函数的间断点只能是跳跃型，排除跳跃即得连续性。
步骤 5/5
目标：得出结论
单调函数如果没有跳跃间断点，则必连续。因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上连续。
提示：单调函数的间断点只能是跳跃间断点，排除跳跃即得连续。
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