中山大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．已知函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 处连续，求 $p$ 的取值范围 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解连续性的定义
函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，要求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0) = 0$。因此需要考察极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{(x^2+y^2)^p}$ 是否等于 $0$。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{(x^2+y^2)^p} = 0
提示：注意原点处函数值已定义为0，只需验证极限值也为0。
步骤 2/4
目标：使用极坐标变换简化表达式
令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $x^2+y^2 = r^2$，$xy = r^2\cos\theta\sin\theta$。代入函数得：
$$\frac{xy}{(x^2+y^2)^p} = \frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^{2p}} = r^{2-2p} \cos\theta\sin\theta$$
公式：\frac{xy}{(x^2+y^2)^p} = r^{2-2p} \cos\theta\sin\theta
提示：极坐标变换是处理多元函数极限的常用方法，注意 $r\to 0$ 对应 $(x,y)\to(0,0)$。
步骤 3/4
目标：分析指数对极限的影响
当 $r\to 0$ 时，$r^{2-2p}$ 的行为取决于指数 $2-2p$ 的符号：
- 若 $2-2p > 0$（即 $p<1$），则 $r^{2-2p}\to 0$，而 $\cos\theta\sin\theta$ 有界（$|\cos\theta\sin\theta| \leq \frac{1}{2}$），故乘积趋于 $0$。
- 若 $2-2p = 0$（即 $p=1$），则表达式化为 $\cos\theta\sin\theta$，其值随 $\theta$ 变化，极限不存在（例如沿 $\theta=0$ 得 $0$，沿 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 得 $\frac{1}{2}$）。
- 若 $2-2p < 0$（即 $p>1$），则 $r^{2-2p}\to \infty$，且存在方向（如 $\theta=\frac{\pi}{4}$）使 $\cos\theta\sin\theta \neq 0$，导致极限为无穷大，不收敛。
公式：\lim_{r\to 0} r^{2-2p} = \begin{cases} 0, & p<1 \\ 1, & p=1 \\ \infty, & p>1 \end{cases}
提示：注意有界量乘以无穷小仍为无穷小；但乘以无穷大则需具体分析方向。
步骤 4/4
目标：得出结论
仅当 $p<1$ 时，极限为 $0$，等于 $f(0,0)$，函数在 $(0,0)$ 处连续。因此 $p$ 的取值范围是 $p<1$。
公式：p < 1
提示：不要遗漏 $p=1$ 的情况，此时极限不存在，不连续。
步骤 5/5
目标：检查边界情况
当 $p = 1$ 时，$f = \cos\theta\sin\theta$，极限依赖于方向 $\theta$，不存在唯一极限，故不连续。当 $p > 1$ 时，指数 $2-2p < 0$，$r^{2-2p} \to +\infty$，极限不存在。因此只有 $p < 1$ 时连续。
公式：p=1 \text{ 时极限不存在；} p>1 \text{ 时极限为无穷}
提示：边界情况容易忽略，务必单独验证。
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