北京交通大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
二．（ 12 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\right]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：拆分极限表达式，分别处理两部分
原极限为 \(\lim_{x\to\infty}\left[x-x^2\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\right]\)，将其拆分为两部分：\(A = x - x^2\ln(1+1/x)\) 和 \(B = \frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\)，则原极限 \(= \lim_{x\to\infty}(A - B)\)。
公式：\lim_{x\to\infty}\left[x-x^2\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\right] = \lim_{x\to\infty}A - \lim_{x\to\infty}B
提示：注意极限存在性：需分别验证两部分极限存在，才能使用差的极限法则。
步骤 2/5
目标：处理第一部分：变量代换并展开对数
令 \(t = \frac{1}{x}\)，当 \(x \to \infty\) 时 \(t \to 0^+\)。则 \(x - x^2\ln(1+1/x) = \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}\ln(1+t)\)。将 \(\ln(1+t)\) 在 \(t=0\) 处泰勒展开：\(\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots\)。
公式：\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} + O(t^5)
提示：展开到足够阶数（至少二次项），因为分母有 \(t^2\)，需消去 \(1/t\) 项。
步骤 3/5
目标：计算第一部分极限
代入展开式：\(\frac{1}{t^2}\ln(1+t) = \frac{1}{t^2}\left(t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots\right) = \frac{1}{t} - \frac{1}{2} + \frac{t}{3} - \cdots\)。于是 \(\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}\ln(1+t) = \frac{1}{t} - \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{2} + \frac{t}{3} - \cdots\right) = \frac{1}{2} - \frac{t}{3} + O(t^2)\)。代回 \(t = 1/x\) 得 \(A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\)，故 \(\lim_{x\to\infty} A = \frac{1}{2}\)。
公式：x - x^2\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)
提示：注意 \(O(t^2)\) 项在 \(t\to0\) 时趋于0，不影响极限。
步骤 4/5
目标：处理第二部分：分析有界振荡项
考虑 \(B = \frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\)。由于 \(\sin x\) 在 \([-1,1]\) 内振荡，\(e^{\sin x}\) 有界，介于 \(e^{-1}\) 与 \(e\) 之间。当 \(x\to\infty\) 时，分母 \(x+e^{\sin x} \sim x\)，分子 \(x+1 \sim x\)，因此 \(B \to 1\)。更精确地，\(B = \frac{1+1/x}{1+e^{\sin x}/x} \to 1\)。
公式：\frac{x+1}{x+e^{\sin x}} = \frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{e^{\sin x}}{x}} \to 1 \quad (x\to\infty)
提示：不要误以为 \(e^{\sin x}\) 振荡会导致极限不存在，因为分母中 \(x\) 占主导，振荡项被 \(x\) 吸收。
步骤 5/5
目标：合并两部分得到最终极限
原极限 \(= \lim_{x\to\infty} A - \lim_{x\to\infty} B = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\)。
公式：\lim_{x\to\infty}\left[x-x^2\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\right] = -\frac{1}{2}
提示：最终结果是一个确定的常数，与振荡项无关。
步骤 6/6
目标：合并 $A$ 和 $B$ 的极限得到最终结果
原极限 $= \lim_{x\to\infty} (A - B) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$。
公式：$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[ x - x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{x+1}{x+e^{\sin x}} \right] = -\frac{1}{2}$
提示：确保两部分极限分别存在，才能直接相减。
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