📝 北京交通大学 2022年数学分析真题

1．$S$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, z \geq 0$ 的上侧；

2．$S$ 为 $(x-2)^{2}+2 y^{2}+4 z^{2}=1$ 的外侧．

1．若 $f^{\prime}(a)<0, f^{\prime}(b)>0$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ；

2．若 $f^{\prime}(a)<c<f^{\prime}(b)$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=c$ ．

二．（ 12 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\right]$ ．

五．（12 分）求曲线积分

$$
\int_{L} \frac{\left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)}{x^{2}+y^{2}}
$$

其中 $L$ 为不过坐标原点从 $\displaystyle A(1,0)$ 到 $\displaystyle B(0,2)$ 的分段光滑曲线．

八．（12 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，证明：
1．若 $\displaystyle f^{\prime}(a)<0, f^{\prime}(b)>0$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ；
2．若 $\displaystyle f^{\prime}(a)<c<f^{\prime}(b)$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=c$ ．

六．（12 分）求曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ．
1．$S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, z \geq 0$ 的上侧；
2．$S$ 为 $\displaystyle (x-2)^{2}+2 y^{2}+4 z^{2}=1$ 的外侧．

十．（ 12 分）求含参量反常积分

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x} \sin \beta x}{x} \mathrm{~d} x(\beta \in \mathbb{R})
$$

十一。（15 分）证明：$n$ 元实二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}\left(a_{i j}=a_{j i}\right)$ 在单位球面 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}=1$ 上的限制的最大、最小值佮为对称阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 的最大、最小特征根。

十二，（15 分）已知 $\displaystyle f_{0}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t(n=0,1,2, \cdots)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$上一致收敛。

四．（12 分）求二重积分

$$
\iint_{D} \sin x \cdot \sin y \cdot \max \{x, y\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq \pi\}$ ．