北京交通大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
八．（12 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，证明：
1．若 $\displaystyle f^{\prime}(a)<0, f^{\prime}(b)>0$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ；
2．若 $\displaystyle f^{\prime}(a)<c<f^{\prime}(b)$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=c$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析第1问条件，利用导数定义得到函数在端点附近的变化趋势
由导数的定义：
$$f'(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0$$
根据极限的保号性，存在$\delta_1>0$，使得当$x\in(a,a+\delta_1)$时，有$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0$，从而$f(x)0$$
存在$\delta_2>0$，使得当$x\in(b-\delta_2,b)$时，有$\frac{f(x)-f(b)}{x-b}>0$，从而$f(x)
公式：$$f'(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
提示：注意极限保号性的应用：由极限的正负可以推出函数在局部范围内与极限同号。
步骤 2/6
目标：利用连续函数的最值定理和费马定理证明存在导数为零的点
由于$f$在$[a,b]$上可导，故$f$在$[a,b]$上连续，因此$f$在$[a,b]$上必取得最小值。由第一步可知，在$a$右侧附近有$f(x)
公式：费马定理：若$f$在$x_0$处可导且取得极值，则$f'(x_0)=0$。
提示：费马定理要求极值点必须是内点且函数在该点可导，这里最小值点在内点且可导，条件满足。
步骤 3/6
目标：总结第1问的结论
由以上推理，我们证明了：若$f'(a)<0$且$f'(b)>0$，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$。
公式：$$\exists\xi\in(a,b),\;f'(\xi)=0$$
提示：这是达布定理（导数的介值性）的一个特例，即导数可以取到零值。
步骤 4/6
目标：构造辅助函数，将第2问转化为第1问的形式
对于第2问，已知$f'(a)0$$
公式：$$g(x)=f(x)-cx,\quad g'(x)=f'(x)-c$$
提示：构造辅助函数是处理导数介值问题的常用技巧，通过线性变换将一般介值问题转化为零值问题。
步骤 5/6
目标：对辅助函数应用第1问的结论
对函数$g$应用第1问的结论，由于$g'(a)<0$且$g'(b)>0$，故存在$\xi\in(a,b)$使得$g'(\xi)=0$，即$f'(\xi)-c=0$，从而$f'(\xi)=c$。
公式：$$g'(\xi)=0\Rightarrow f'(\xi)=c$$
提示：注意这里$\xi$是同一个点，因为$g$的零点就是$f'$取$c$的点。
步骤 6/6
目标：总结第2问并给出整体结论
第2问得证：若$f'(a)
公式：达布定理：若$f$在$[a,b]$上可导，则$f'$具有介值性。
提示：达布定理不要求导数连续，即使导数不连续，仍然具有介值性，这是导数的一个重要性质。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。