北京交通大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．若 $f^{\prime}(a)<c<f^{\prime}(b)$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=c$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数，将导数介值问题转化为极值问题
令 $g(x) = f(x) - c x$，则 $g$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $g'(x) = f'(x) - c$。由条件 $f'(a) < c < f'(b)$ 得 $g'(a) = f'(a) - c < 0$，$g'(b) = f'(b) - c > 0$。
公式：$g(x)=f(x)-cx$，$g'(x)=f'(x)-c$
提示：注意辅助函数的构造要使得导数的零点对应原导数为c的点。
步骤 2/5
目标：利用导数符号判断端点附近函数值的变化
因为 $g'(a) < 0$，由导数的定义，存在 $\u03b4_1 > 0$，使得当 $x \in (a, a+\u03b4_1)$ 时，$g(x) < g(a)$。同理，因为 $g'(b) > 0$，存在 $\u03b4_2 > 0$，使得当 $x \in (b-\u03b4_2, b)$ 时，$g(x) < g(b)$。这说明 $g(a)$ 和 $g(b)$ 都不是 $g$ 在 $[a,b]$ 上的最小值。
公式：无
提示：导数符号决定函数在端点附近的单调性，从而排除端点成为最小值点的可能。
步骤 3/5
目标：确定最小值点必在开区间内
由于 $g$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，由闭区间上连续函数的性质，$g$ 必在 $[a,b]$ 上取得最小值。但由步骤2知，$a$ 和 $b$ 都不是最小值点，因此最小值点 $\u03be$ 必在开区间 $(a,b)$ 内。
公式：无
提示：闭区间连续函数必有最值，但最值点可能在内部或边界，此处通过排除边界得到内部点。
步骤 4/5
目标：应用费马定理得到导数为零
因为 $\u03be \in (a,b)$ 是 $g$ 的最小值点，且 $g$ 在 $\u03be$ 处可导，由费马定理（Fermat's theorem），有 $g'(\u03be) = 0$。
公式：$g'(\\xi)=0$
提示：费马定理要求函数在极值点可导，此处满足条件。
步骤 5/5
目标：还原得到原导数的介值结论
由 $g'(\u03be) = f'(\u03be) - c = 0$，即得 $f'(\u03be) = c$。因此存在 $\u03be \in (a,b)$ 使得 $f'(\u03be) = c$。
公式：$f'(\\xi)=c$
提示：注意结论与达布定理的一致性，导数具有介值性。
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