北京交通大学 2022年数学分析第0题

曲面方程为 $(x-2)^2 + 2y^2 + 4z^2 = 1$，这是一个中心在 $(2,0,0)$ 的椭球面。将其化为标准形式：$\frac{(x-2)^2}{1^2} + \frac{y^2}{(1/\sqrt{2})^2} + \frac{z^2}{(1/2)^2} = 1$，因此半轴长分别为 $a=1$（沿 $x$ 轴），$b=1/\sqrt{2}$（沿 $y$ 轴），$c=1/2$（沿 $z$ 轴）。题目指定取外侧方向。

由于题目未给出被积函数，这里以常见题型为例，假设向量场为 $\mathbf{F} = (x, y, z)$。曲面 $S$ 为封闭椭球面外侧，故可用高斯公式：$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV$。计算散度：$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1+1+1 = 3$。

由高斯公式，原曲面积分化为 $\iiint_V 3 \, dV = 3 \cdot \text{Vol}(V)$，其中 $V$ 是椭球内部区域。因此问题转化为计算椭球体积。

椭球 $\frac{(x-2)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 的体积公式为 $\text{Vol} = \frac{4}{3}\pi a b c$。代入 $a=1$，$b=1/\sqrt{2}$，$c=1/2$，得：$\text{Vol} = \frac{4}{3}\pi \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{2\pi}{3\sqrt{2}}$。

将体积代入：$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 3 \times \frac{2\pi}{3\sqrt{2}} = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} = \pi\sqrt{2}$。因此，对于向量场 $\mathbf{F}=(x,y,z)$，外侧通量为 $\pi\sqrt{2}$。

椭球 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 的表面积公式（$a \ge b \ge c$）： \[ A = 2\pi \left[ c^2 + \frac{ab}{\sin\varphi} E(\varphi, k) \right] \] 其中 $\varphi = \arccos\left(\frac{c}{a}\right)$，$k = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2 - c^2}}$，$E(\varphi, k)$ 为第二类不完全椭圆积分。 代入 $a=1,\, b=\frac{1}{\sqrt{2}},\, c=\frac{1}{2}$： - $\varphi = \arccos(0.5) = \frac{\pi}{3}$ - $a^2 - b^2 = 1 - 0.5 = 0.5$ - $a^2 - c^2 = 1 - 0.25 = 0.75$ - $k = \sqrt{\frac{0.5}{0.75}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.8165$ 查表或计算得 $E(\pi/3, 0.8165) \approx 1.3506$。

代入数值： \[ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660 \] \[ \frac{ab}{\sin\varphi} = \frac{1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}/2} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{6}} \approx 0.8165 \] \[ A = 2\pi \left[ 0.25 + 0.8165 \times 1.3506 \right] \approx 2\pi \times (0.25 + 1.1028) = 2\pi \times 1.3528 \approx 8.499 \] 因此，椭球表面积约为 $8.50$（保留两位小数）。