北京交通大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
十二，（15 分）已知 $\displaystyle f_{0}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t(n=0,1,2, \cdots)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$上一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定初始函数的有界性
由于 \( f_0(x) \) 在闭区间 \([a,b]\) 上可积，根据可积函数的性质，\( f_0(x) \) 在 \([a,b]\) 上有界。因此存在常数 \( M > 0 \)，使得对任意 \( x \in [a,b] \)，有 \( |f_0(x)| \leq M \)。
公式：\displaystyle M = \sup_{x\in[a,b]}|f_0(x)| < \infty
提示：可积函数在闭区间上必有界，但未必有最大值，这里取上确界作为界即可。
步骤 2/4
目标：通过递推关系推导 \( f_n(x) \) 的界
利用递推公式 \( f_{n+1}(x) = \int_a^x f_n(t) \, dt \) 和数学归纳法。当 \( n=0 \) 时，\( |f_1(x)| \leq \int_a^x |f_0(t)| \, dt \leq M(x-a) \leq M(b-a) \)。假设 \( |f_n(x)| \leq M \frac{(x-a)^n}{n!} \) 成立，则 \( |f_{n+1}(x)| \leq \int_a^x M \frac{(t-a)^n}{n!} \, dt = M \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \)。由归纳法，对所有 \( n \) 和 \( x \in [a,b] \) 有 \( |f_n(x)| \leq M \frac{(b-a)^n}{n!} \)。
公式：\displaystyle |f_n(x)| \leq M \frac{(b-a)^n}{n!}
提示：注意积分上限 \( x \) 是变量，但最终放缩到区间长度 \( b-a \) 的幂次，确保界与 \( x \) 无关。
步骤 3/4
目标：构造控制级数并验证收敛性
考虑常数项级数 \( \sum_{n=0}^\infty M \frac{(b-a)^n}{n!} \)。这是指数函数 \( e^{b-a} \) 的泰勒展开，其和为 \( M e^{b-a} \)，因此该级数收敛。
公式：\displaystyle \sum_{n=0}^\infty M \frac{(b-a)^n}{n!} = M e^{b-a} < \infty
提示：注意 \( n! \) 的增长速度快于任何指数函数，因此级数收敛是显然的。
步骤 4/4
目标：应用 Weierstrass M-判别法证明一致收敛
由第二步，对任意 \( x \in [a,b] \) 和任意 \( n \)，有 \( |f_n(x)| \leq M \frac{(b-a)^n}{n!} \)。而第三步中的常数项级数 \( \sum_{n=0}^\infty M \frac{(b-a)^n}{n!} \) 收敛。根据 Weierstrass 一致收敛判别法，函数项级数 \( \sum_{n=0}^\infty f_n(x) \) 在 \([a,b]\) 上一致收敛。
公式：\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x) \text{ 在 } [a,b] \text{ 上一致收敛}
提示：Weierstrass M-判别法的条件是：存在收敛的正项级数 \( \sum M_n \) 使得 \( |f_n(x)| \leq M_n \) 对所有 \( x \) 成立。这里 \( M_n = M(b-a)^n/n! \)。
步骤 5/6
目标：应用 Weierstrass M-判别法
构造数项级数 $\sum_{n=0}^\infty M_0\frac{(b-a)^n}{n!}$，该级数收敛于 $M_0 e^{b-a}$。由于 $|f_n(x)|\le M_0\frac{(b-a)^n}{n!}$，由 Weierstrass M-判别法知 $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：\sum_{n=0}^\infty M_0\frac{(b-a)^n}{n!}=M_0 e^{b-a}
提示：Weierstrass M-判别法要求控制级数收敛且与 $x$ 无关，这里满足。
步骤 6/6
目标：总结结论
已证明 $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。
提示：注意一致收敛是整体性质，这里通过优级数得到。
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