北京交通大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．若 $f^{\prime}(a)<0, f^{\prime}(b)>0$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与结论
已知函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上可导，且 $f'(a) < 0$，$f'(b) > 0$。需要证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f'(\xi) = 0$。
公式：f'(a) < 0 < f'(b)
提示：题目未明确写出可导性，但由导数的定义可知，$f$ 至少在端点处可导，通常需要假设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导才能使用后续定理。
步骤 2/5
目标：利用导数定义分析端点附近函数值的变化
由 $f'(a) < 0$，根据导数定义：
$$
\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) < 0
$$
因此存在 $x_1 > a$ 且足够接近 $a$，使得 $\frac{f(x_1)-f(a)}{x_1-a} < 0$，即 $f(x_1) < f(a)$。这说明 $f(a)$ 不是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最小值。
同理，由 $f'(b) > 0$，存在 $x_2 < b$ 且足够接近 $b$，使得 $\frac{f(b)-f(x_2)}{b-x_2} > 0$，即 $f(x_2) < f(b)$，故 $f(b)$ 也不是最小值。
公式：\frac{f(x)-f(a)}{x-a} < 0 \quad \text{及} \quad \frac{f(b)-f(x)}{b-x} > 0
提示：注意极限的保号性：当极限为负时，在足够小的邻域内差商也为负；当极限为正时同理。
步骤 3/5
目标：应用闭区间上连续函数的极值定理
由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。由极值定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上必能取到最小值。
由第二步可知，$f(a)$ 和 $f(b)$ 都不是最小值，因此最小值点 $\xi$ 必然在开区间 $(a,b)$ 内部取得。
公式：\exists \xi \in (a,b) \text{ 使得 } f(\xi) = \min_{x \in [a,b]} f(x)
提示：闭区间上连续函数必有最大值和最小值，这是分析学的基本定理。
步骤 4/5
目标：利用费马定理得到导数为零
因为 $\xi$ 是 $f$ 在 $(a,b)$ 内部的最小值点，且 $f$ 在 $\xi$ 处可导，由费马定理（Fermat's theorem），可导函数在内部极值点处的导数必为零，即
$$
f'(\xi) = 0.
$$
公式：f'(\xi) = 0
提示：费马定理要求极值点必须在区间内部且函数在该点可导，这里两个条件均满足。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f'(\xi) = 0$，命题得证。
公式：\exists \xi \in (a,b),\ f'(\xi)=0
提示：本题也可直接使用达布定理（导函数的介值性）一步证出，但上述极值法更初等直观。
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