北京交通大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
四．（12 分）求二重积分
$$
\iint_{D} \sin x \cdot \sin y \cdot \max \{x, y\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq \pi\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分割积分区域
积分区域 $D=[0,\pi]\times[0,\pi]$，被积函数中含有 $\max\{x,y\}$，因此按 $x$ 与 $y$ 的大小关系将 $D$ 分为两个三角形区域：$D_1=\{(x,y)\mid 0\le y\le x\le\pi\}$（此时 $\max\{x,y\}=x$）和 $D_2=\{(x,y)\mid 0\le x\le y\le\pi\}$（此时 $\max\{x,y\}=y$）。直线 $x=y$ 上的测度为零，不影响积分值。于是原积分化为：
$$
\iint_D \sin x\sin y\max\{x,y\}\,dxdy = \iint_{D_1} x\sin x\sin y\,dxdy + \iint_{D_2} y\sin x\sin y\,dxdy.
$$
由对称性，交换 $x$ 与 $y$ 后两个积分相等，故
$$
\iint_D = 2\iint_{D_1} x\sin x\sin y\,dxdy.
$$
公式：\iint_D = 2\iint_{D_1} x\sin x\sin y\,dxdy
提示：注意对称性的使用：被积函数和区域关于直线 $x=y$ 对称，因此两个子区域的积分相等。
步骤 2/5
目标：将二重积分化为累次积分
在区域 $D_1$ 上，$y$ 从 $0$ 到 $x$，$x$ 从 $0$ 到 $\pi$，因此
$$
I_1 = \iint_{D_1} x\sin x\sin y\,dxdy = \int_{x=0}^{\pi} \int_{y=0}^{x} x\sin x\sin y\,dy\,dx.
$$
先计算内层对 $y$ 的积分：
$$
\int_0^x \sin y\,dy = [-\cos y]_0^x = -\cos x + \cos 0 = 1-\cos x.
$$
于是
$$
I_1 = \int_0^\pi x\sin x\,(1-\cos x)\,dx = \int_0^\pi x\sin x\,dx - \int_0^\pi x\sin x\cos x\,dx.
$$
公式：I_1 = \int_0^\pi x\sin x\,dx - \int_0^\pi x\sin x\cos x\,dx
提示：先对 $y$ 积分时，$x$ 视为常数，注意积分限的确定。
步骤 3/5
目标：计算第一个积分 $\int_0^\pi x\sin x\,dx$
使用分部积分法，令 $u=x$，$dv=\sin x\,dx$，则 $du=dx$，$v=-\cos x$。于是
$$
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x.
$$
代入上下限 $0$ 到 $\pi$：
$$
\left[-x\cos x + \sin x\right]_0^\pi = (-\pi\cos\pi + \sin\pi) - (0+0) = (-\pi\cdot(-1)+0) = \pi.
$$
公式：\int_0^\pi x\sin x\,dx = \pi
提示：分部积分时注意符号，$\cos\pi = -1$，$\sin\pi=0$。
步骤 4/5
目标：计算第二个积分 $\int_0^\pi x\sin x\cos x\,dx$
利用三角恒等式 $\sin x\cos x = \frac12\sin 2x$，得
$$
\int_0^\pi x\sin x\cos x\,dx = \frac12\int_0^\pi x\sin 2x\,dx.
$$
对 $\int x\sin 2x\,dx$ 使用分部积分，令 $u=x$，$dv=\sin 2x\,dx$，则 $du=dx$，$v=-\frac12\cos 2x$。于是
$$
\int x\sin 2x\,dx = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac12\int \cos 2x\,dx = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac14\sin 2x.
$$
代入上下限 $0$ 到 $\pi$：
当 $x=\pi$ 时，$-\frac{\pi}{2}\cos 2\pi + \frac14\sin 2\pi = -\frac{\pi}{2}\cdot1+0 = -\frac{\pi}{2}$；
当 $x=0$ 时，$0+0=0$。
故定积分值为 $-\frac{\pi}{2}$。因此
$$
\int_0^\pi x\sin x\cos x\,dx = \frac12\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}.
$$
公式：\int_0^\pi x\sin x\cos x\,dx = -\frac{\pi}{4}
提示：注意 $\cos 2\pi = 1$，$\sin 2\pi = 0$；分部积分时系数不要遗漏。
步骤 5/5
目标：计算 $I_1$ 并得到原积分结果
将前两步结果代入 $I_1$ 的表达式：
$$
I_1 = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}.
$$
原积分等于 $2I_1$，故
$$
\iint_D \sin x\sin y\max\{x,y\}\,dxdy = 2\times\frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}.
$$
公式：\iint_D = \frac{5\pi}{2}
提示：最后不要忘记乘以对称性带来的因子2。
步骤 6/6
目标：计算 I₁ 并利用对称性得到总积分
$$I_1 = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$$
由对称性，$I_2 = I_1$，故总积分：
$$I = I_1 + I_2 = \frac{5\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$$
公式：I = 2I_1 = \frac{5\pi}{2}
提示：对称性成立的前提是区域和被积函数在交换 x,y 后形式一致。
步骤 7/7
目标：计算 $I_1$ 和原积分
$$I_1 = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}.$$
因此原积分 $I = 2I_1 = 2 \times \frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$。
提示：注意符号，减去负值等于加正值。
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