北京交通大学 2022年数学分析第0题

第一问中，曲面 $S$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=R^2, z \geq 0$，取上侧，即法向量指向外侧（球外且向上）。被积表达式对应向量场 $\mathbf{F} = \left( \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \right)$ 的第二类曲面积分 $\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S$。

在球面上，$x^2+y^2+z^2 = R^2$，所以分母 $(x^2+y^2+z^2)^{3/2} = R^3$，因此 $\mathbf{F} = \frac{(x,y,z)}{R^3}$。上半球面的外侧单位法向量为 $\mathbf{n} = \frac{(x,y,z)}{R}$（径向向外）。计算点积：$\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = \frac{(x,y,z)}{R^3} \cdot \frac{(x,y,z)}{R} = \frac{x^2+y^2+z^2}{R^4} = \frac{R^2}{R^4} = \frac{1}{R^2}$。

积分化为 $\iint_S \frac{1}{R^2} \, \mathrm{d}S = \frac{1}{R^2} \iint_S \mathrm{d}S$，其中 $\iint_S \mathrm{d}S$ 是上半球面的面积。上半球面面积为 $2\pi R^2$，所以积分值为 $\frac{1}{R^2} \cdot 2\pi R^2 = 2\pi$。

第二问中，曲面 $S$ 是封闭椭球面 $(x-2)^2+2y^2+4z^2=1$ 的外侧。向量场仍为 $\mathbf{F} = \frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$。由于曲面封闭，可考虑高斯散度定理：$\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, \mathrm{d}V$，其中 $V$ 是椭球内部区域。

令 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则 $F_x = x/r^3$，$F_y = y/r^3$，$F_z = z/r^3$。计算偏导数：$\frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{r^3 - x \cdot 3r^2 \cdot (x/r)}{r^6} = \frac{r^2 - 3x^2}{r^5}$，同理 $\frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{r^2 - 3y^2}{r^5}$，$\frac{\partial F_z}{\partial z} = \frac{r^2 - 3z^2}{r^5}$。相加得 $\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{3r^2 - 3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = \frac{3r^2 - 3r^2}{r^5} = 0$（当 $r \neq 0$ 时）。

椭球 $(x-2)^2+2y^2+4z^2=1$ 的中心为 $(2,0,0)$，沿 $x$ 轴半轴长为 $1$，因此椭球在 $x$ 方向的范围是 $[1,3]$。原点 $(0,0,0)$ 的 $x=0 < 1$，故原点不在椭球内部，也不在边界上。因此，在椭球所围区域 $V$ 内，散度处处为 $0$ 且无奇点。由高斯散度定理，积分 $\iiint_V 0 \, \mathrm{d}V = 0$。