北京交通大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
五．（12 分）求曲线积分
$$
\int_{L} \frac{\left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)}{x^{2}+y^{2}}
$$
其中 $L$ 为不过坐标原点从 $\displaystyle A(1,0)$ 到 $\displaystyle B(0,2)$ 的分段光滑曲线．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简被积表达式
注意到分子中有 $x\,dx + y\,dy$，且分母为 $x^2+y^2$，引入极坐标：令 $r = \sqrt{x^2+y^2}$，则 $x\,dx + y\,dy = r\,dr$，分母 $x^2+y^2 = r^2$。于是被积表达式化为 $\frac{(1+r)\cdot r\,dr}{r^2} = \frac{1+r}{r}\,dr$。原积分变为 $\int_L \frac{1+r}{r}\,dr$。
公式：$x\,dx + y\,dy = r\,dr$，$x^2+y^2 = r^2$
提示：注意 $r>0$，因为曲线不过原点。
步骤 2/4
目标：判断积分与路径无关
化简后的被积函数 $\frac{1+r}{r}\,dr$ 只依赖于 $r$，且 $dr$ 是径向微分。该表达式是恰当微分：$\frac{1+r}{r}\,dr = \left(\frac{1}{r}+1\right)dr$，其原函数为 $\ln r + r + C$。因此积分值只与起点和终点的 $r$ 值有关，与具体路径无关。
公式：$\frac{1+r}{r}\,dr = d(\ln r + r)$
提示：确保曲线不经过原点以保证 $r>0$，原函数有意义。
步骤 3/4
目标：计算起点和终点的 $r$ 值
起点 $A(1,0)$：$r_A = \sqrt{1^2+0^2}=1$。终点 $B(0,2)$：$r_B = \sqrt{0^2+2^2}=2$。
公式：$r = \sqrt{x^2+y^2}$
提示：代入坐标时注意平方和再开方。
步骤 4/4
目标：计算积分值
由原函数法：$\int_L \frac{1+r}{r}\,dr = [\ln r + r]_{r=1}^{r=2} = (\ln 2 + 2) - (\ln 1 + 1) = \ln 2 + 2 - 1 = \ln 2 + 1$。
公式：$\int \frac{1+r}{r}\,dr = \ln r + r + C$
提示：注意 $\ln 1 = 0$，不要遗漏常数项。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
原曲线积分的值为 $1 + \ln 2$。
提示：答案应化简为最简形式。
步骤 6/6
目标：计算积分值
原积分 $\int_L = F(B) - F(A) = (\ln 2 + 2) - 1 = \ln 2 + 1$。
提示：最终结果化简为 $\ln 2 + 1$。
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