北京交通大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1、 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 上一致连续．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。它与逐点连续的区别在于，这里的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in I: |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
提示：注意一致连续要求 $\delta$ 对区间内所有点都适用，不能随 $x$ 变化。
步骤 2/7
目标：分析函数在 $(0,1)$ 上的表达式和性质
当 $x \in (0,1)$ 时，$\sin x > 0$，所以 $|\sin x| = \sin x$，于是 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$。该函数在 $x=0$ 处有可去间断点，因为 $\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$。若补充定义 $f(0)=1$，则 $f$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续。
公式：f(x)=\frac{\sin x}{x},\quad x\in(0,1);\quad \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1
提示：注意 $\sin x$ 在 $(0,1)$ 上恒正，绝对值可直接去掉。
步骤 3/7
目标：利用康托尔定理判断 $(0,1)$ 上的一致连续性
闭区间上的连续函数一定一致连续（康托尔定理）。由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，故在 $[0,1]$ 上一致连续。而一致连续性在子区间上保持，因此 $f$ 在 $(0,1)$ 上也一致连续。
公式：\text{若 } f \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续，则 } f \text{ 在 } [a,b] \text{ 上一致连续}
提示：子区间上的一致连续性可由整体一致连续性直接推出。
步骤 4/7
目标：分析函数在 $(-1,0)$ 上的表达式和性质
当 $x \in (-1,0)$ 时，$\sin x < 0$，所以 $|\sin x| = -\sin x$，于是 $f(x) = \frac{-\sin x}{x}$。当 $x\to 0^-$ 时，$\lim_{x\to 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -\lim_{x\to 0^-} \frac{\sin x}{x} = -1$。若补充定义 $f(0)=-1$，则 $f$ 在闭区间 $[-1,0]$ 上连续。
公式：f(x)=\frac{-\sin x}{x},\quad x\in(-1,0);\quad \lim_{x\to 0^-}\frac{-\sin x}{x}=-1
提示：注意 $\sin x$ 在 $(-1,0)$ 上恒负，绝对值取反。
步骤 5/7
目标：利用康托尔定理判断 $(-1,0)$ 上的一致连续性
由于 $f$ 在 $[-1,0]$ 上连续，故在 $[-1,0]$ 上一致连续，从而在子区间 $(-1,0)$ 上也一致连续。
公式：\text{同第三步推理}
提示：端点 $x=0$ 不在原区间内，但延拓后闭区间连续保证了一致连续性。
步骤 6/7
目标：检查端点附近是否可能破坏一致连续性
有人可能会担心 $x=0$ 不在区间内，导致一致连续性被破坏。但事实上，一致连续并不要求区间是闭的，只要函数在区间上满足“整体变化受控”即可。这里两个区间各自远离另一个区间，且函数在各自区间端点（靠近0的一侧）有极限存在，因此可以延拓成闭区间上的连续函数，从而原区间上一致连续。
公式：\text{极限存在且有限是延拓的关键}
提示：注意：函数在开区间内一致连续的一个充分条件是它可以连续延拓到闭区间上。
步骤 7/7
目标：给出结论
因此，函数 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 上均一致连续。
提示：结论需明确两个区间分别一致连续。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。