📝 北京交通大学 2024年数学分析真题

1、 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 上一致连续．

2、 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(-1,0) \cup(0,1)$ 上不一致连续．

1、求 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$ ．

2、 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} 、 \frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $(0,0)$ 是否连续，$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 是否可微？

1、证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,1]$ 上不一致收敛。

2、证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[\alpha, 1]$ 上一致收敛，其中 $0<\alpha<1$ ．

六、设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y \cdot \sin \left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0 & , x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 。
1、求 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$ ．
2、 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} 、 \frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 是否连续，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 是否可微？

十、计算三重积分 $\displaystyle I=\iiint_{V} x \cdot e^{y+z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 是由曲面 $\displaystyle y=x^{2}$ 和平面 $\displaystyle y=x, x+y+z=2$ 及 $\displaystyle z=0$ 围成的区域．

四、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导，证明：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使得

$$
f(b)=f(a)+\frac{b-a}{2}\left[f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right]-\frac{(b-a)^{3}}{12} f^{\prime \prime}(\xi)
$$
1、 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (-1,0)$ 和 $\displaystyle (0,1)$ 上一致连续．
2、 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上不一致连续．