北京交通大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1、证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,1]$ 上不一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定函数列的具体形式
题目未明确给出函数列的具体表达式，但根据常见的不一致收敛例子，假设函数列为 $f_n(x) = x^n$，定义域为 $(0,1]$。
公式：f_n(x) = x^n, \quad x \in (0,1]
提示：注意定义域包含端点1，但不包含0。
步骤 2/5
目标：求逐点极限函数
对每个固定的 $x \in (0,1)$，当 $n \to \infty$ 时，$x^n \to 0$；当 $x=1$ 时，$1^n = 1$。因此逐点极限函数为：
$$ f(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases} $$
公式：f(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}
提示：逐点极限函数在 $x=1$ 处不连续，这往往是不一致收敛的征兆。
步骤 3/5
目标：写出不一致收敛的判别条件
函数列 $\{f_n\}$ 在 $(0,1]$ 上一致收敛到 $f$ 的充要条件是：
$$ \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in (0,1]} |f_n(x) - f(x)| = 0 $$
若该极限不为0，则不一致收敛。
公式：\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in (0,1]} |f_n(x) - f(x)| = 0
提示：上确界范数（sup norm）是判断一致收敛的关键工具。
步骤 4/5
目标：计算上确界
当 $x \in (0,1)$ 时，$|f_n(x)-f(x)| = x^n$；当 $x=1$ 时，差为0。因此：
$$ \sup_{x \in (0,1]} |f_n(x)-f(x)| = \sup_{x \in (0,1)} x^n = 1 $$
因为 $x$ 可以任意接近1，使得 $x^n$ 任意接近1，上确界为1。
公式：\sup_{x \in (0,1]} |f_n(x)-f(x)| = 1
提示：注意上确界是1，而不是极限值，因为 $x$ 不能取到1（差为0），但可以无限逼近。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于 $\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in (0,1]} |f_n(x)-f(x)| = 1 \neq 0$，所以函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $(0,1]$ 上不一致收敛。
公式：\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in (0,1]} |f_n(x)-f(x)| = 1 \neq 0
提示：不一致收敛的直观原因是：在 $x=1$ 附近，收敛速度不一致，无法用统一的 $N$ 控制所有点。
步骤 6/6
目标：得出结论
根据不一致收敛的定义，存在 $\varepsilon_0=1/4$，使得对任意 $N$，都能找到 $n>N$ 和 $x_n=1-1/n\in(0,1]$ 满足 $|f_n(x_n)-f(x_n)|\ge\varepsilon_0$，因此 $\{f_n(x)\}$ 在 $(0,1]$ 上不一致收敛。
公式：$\{f_n(x)\}$ 在 $(0,1]$ 上不一致收敛
提示：注意：虽然逐点收敛，但极限函数不连续，这是不一致收敛的典型特征。
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