北京交通大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2、证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[\alpha, 1]$ 上一致收敛，其中 $0<\alpha<1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数序列与区间
题目未给出具体的函数序列，但根据常见题型，假设函数序列为 $f_n(x) = x^n$，定义域为 $[\alpha, 1]$，其中 $0 < \alpha < 1$。需要证明该函数序列在 $[\alpha, 1]$ 上一致收敛。
公式：f_n(x) = x^n, \quad x \in [\alpha, 1]
提示：注意：区间左端点 $\alpha > 0$，这是保证一致收敛的关键条件。
步骤 2/5
目标：求极限函数
对每个固定的 $x \in [\alpha, 1]$，当 $n \to \infty$ 时：
- 若 $x = 1$，则 $f_n(1) = 1^n = 1 \to 1$；
- 若 $x < 1$，则 $x^n \to 0$。
因此极限函数为：
$$f(x) = \begin{cases} 0, & \alpha \le x < 1, \\ 1, & x = 1. \end{cases}$$
公式：f(x) = \begin{cases} 0, & \alpha \le x < 1, \\ 1, & x = 1. \end{cases}
提示：极限函数在 $x=1$ 处不连续，但一致收敛性只依赖于函数列与极限函数的接近程度。
步骤 3/5
目标：计算差值并求上确界
考虑 $|f_n(x) - f(x)|$：
- 当 $x \in [\alpha, 1)$ 时，$|f_n(x) - f(x)| = |x^n - 0| = x^n$；
- 当 $x = 1$ 时，$|f_n(1) - f(1)| = |1 - 1| = 0$。
因此，
$$\sup_{x \in [\alpha, 1]} |f_n(x) - f(x)| = \sup_{x \in [\alpha, 1)} x^n.$$
由于 $x^n$ 在 $[\alpha, 1)$ 上关于 $x$ 单调递增，且 $x$ 可以无限接近 $1$，所以上确界为 $\lim_{x \to 1^-} x^n = 1$，即
$$\sup_{x \in [\alpha, 1]} |f_n(x) - f(x)| = 1.$$
公式：\sup_{x \in [\alpha, 1]} |f_n(x) - f(x)| = 1
提示：这里容易误以为上确界在 $x=1$ 处取得，但 $x=1$ 时差为0，而 $x$ 趋近于1时差趋近于1，因此上确界是1，不趋于0。
步骤 4/5
目标：判断一致收敛性
一致收敛要求 $\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [\alpha, 1]} |f_n(x) - f(x)| = 0$。但这里上确界恒为1，不随 $n$ 增大而减小，因此 $\{f_n(x)\}$ 在 $[\alpha, 1]$ 上不一致收敛。
公式：\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [\alpha, 1]} |f_n(x) - f(x)| = 1 \neq 0
提示：注意：如果区间改为 $[\alpha, \beta]$ 且 $\beta < 1$，则上确界为 $\beta^n \to 0$，此时一致收敛成立。
步骤 5/5
目标：总结与修正说明
原题结论“在 $[\alpha, 1]$ 上一致收敛”对于 $f_n(x)=x^n$ 是不成立的。常见的正确命题是：$f_n(x)=x^n$ 在 $[\alpha, \beta]$（$0<\alpha<\beta<1$）上一致收敛，或在 $[\alpha, 1]$ 上 $f_n(x)=\frac{nx}{1+nx}$ 等函数一致收敛。因此，本题需根据实际函数形式调整结论。
公式：\text{若 } f_n(x)=x^n, \text{则不一致收敛；若 } f_n(x)=\frac{nx}{1+nx}, \text{则一致收敛。}
提示：解题时务必先确认函数序列的具体形式，避免直接套用结论。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，对于函数列 $f_n(x)=nx(1-x)^n$，在区间 $[\alpha,1]$（$0<\alpha<1$）上，存在与 $x$ 无关的收敛控制 $n(1-\alpha)^n$，且该控制量趋于0，故 $\{f_n(x)\}$ 在 $[\alpha,1]$ 上一致收敛于 $0$。
提示：若函数列为 $x^n$，则需注意在包含端点1时不一致收敛，但题目条件 $\alpha>0$ 可能针对其他情形，此处以常见题型作答。
步骤 7/7
目标：总结一般方法
对于一般的函数列，证明一致收敛的常用方法有：
1. 直接计算 $\sup$ 并证明趋于0；
2. 使用魏尔斯特拉斯M判别法：若存在常数 $M_n$ 使得 $|f_n(x)|\leq M_n$ 且 $\sum M_n$ 收敛，则函数项级数一致收敛；
3. 利用一致收敛的柯西准则。
本题中，由于区间 $[\alpha,1]$ 是闭区间且 $\alpha>0$，许多在 $[0,1]$ 上不一致收敛的函数列（如 $x^n$）在 $[\alpha,1]$ 上可能一致收敛，但 $x^n$ 仍不一致收敛，需注意。
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛，一致收敛要求 $\sup$ 趋于0，且与 $x$ 无关。
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