北京交通大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1、求 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确函数形式
题目未给出具体函数，假设一个常见函数作为示例：
设 $f(x, y) = x^2 y + e^{x} \sin y$。
公式：f(x, y) = x^2 y + e^{x} \sin y
提示：实际解题时需先确认函数表达式。
步骤 2/7
目标：对 x 求偏导——处理第一项
将 y 视为常数，对第一项 $x^2 y$ 关于 x 求导：
$\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = y \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = y \cdot 2x = 2xy$。
公式：\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy
提示：注意 y 作为常数因子直接保留。
步骤 3/7
目标：对 x 求偏导——处理第二项
对第二项 $e^x \sin y$ 关于 x 求导，$\sin y$ 视为常数：
$\frac{\partial}{\partial x}(e^x \sin y) = \sin y \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = \sin y \cdot e^x = e^x \sin y$。
公式：\frac{\partial}{\partial x}(e^x \sin y) = e^x \sin y
提示：指数函数 e^x 的导数仍是自身。
步骤 4/7
目标：对 x 求偏导——合并结果
将两项结果相加，得到 $\frac{\partial f}{\partial x}$：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + e^x \sin y$。
公式：\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + e^x \sin y
提示：检查是否漏掉任何项。
步骤 5/7
目标：对 y 求偏导——处理第一项
将 x 视为常数，对第一项 $x^2 y$ 关于 y 求导：
$\frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2 \cdot \frac{d}{dy}(y) = x^2 \cdot 1 = x^2$。
公式：\frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2
提示：x^2 视为常数系数。
步骤 6/7
目标：对 y 求偏导——处理第二项
对第二项 $e^x \sin y$ 关于 y 求导，$e^x$ 视为常数：
$\frac{\partial}{\partial y}(e^x \sin y) = e^x \cdot \frac{d}{dy}(\sin y) = e^x \cos y$。
公式：\frac{\partial}{\partial y}(e^x \sin y) = e^x \cos y
提示：sin y 的导数是 cos y。
步骤 7/7
目标：对 y 求偏导——合并结果
将两项结果相加，得到 $\frac{\partial f}{\partial y}$：
$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + e^x \cos y$。
公式：\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + e^x \cos y
提示：最终结果中不要混淆变量。
步骤 8/8
目标：总结答案
对于假设函数 \( f(x,y) = x^3 y^2 + e^x \cos y \)，偏导数为：
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 y^2 + e^x \cos y, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3 y - e^x \sin y \]
公式：\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 y^2 + e^x \cos y, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3 y - e^x \sin y \]
提示：实际题目中需根据具体函数重新计算。
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