北京交通大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2、 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} 、 \frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $(0,0)$ 是否连续，$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 是否可微？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求偏导函数在(0,0)处的值
按定义计算：
对x：
\[ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0-0}{h} = 0 \]
对y：
\[ f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{0-0}{k} = 0 \]
公式：f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0
提示：注意使用偏导数的定义，代入函数在坐标轴上的值简化计算。
步骤 2/4
目标：求非原点处的偏导表达式
当 (x,y) ≠ (0,0) 时，f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^2+y^2}。
对x求偏导：
\[ f_x(x,y) = \frac{(2xy)(x^2+y^2) - x^2 y \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2x y^3}{(x^2+y^2)^2} \]
对y求偏导：
\[ f_y(x,y) = \frac{x^2(x^2+y^2) - x^2 y \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^4 - x^2 y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2(x^2 - y^2)}{(x^2+y^2)^2} \]
公式：f_x(x,y) = \frac{2x y^3}{(x^2+y^2)^2}, \quad f_y(x,y) = \frac{x^2(x^2 - y^2)}{(x^2+y^2)^2}
提示：求导时注意商法则和链式法则，化简分子时要细心。
步骤 3/4
目标：判断偏导数在原点是否连续
需要验证极限是否等于偏导数值0。
对f_x：取路径 y = x，则
\[ f_x(x,x) = \frac{2x \cdot x^3}{(x^2+x^2)^2} = \frac{2x^4}{4x^4} = \frac12 \]
极限为1/2 ≠ 0，故f_x在(0,0)不连续。
对f_y：取路径 y = 0，则
\[ f_y(x,0) = \frac{x^2(x^2-0)}{(x^2+0)^2} = 1 \]
极限为1 ≠ 0，故f_y在(0,0)也不连续。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y) \neq f_x(0,0), \quad \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_y(x,y) \neq f_y(0,0)
提示：判断连续性时，选取特殊路径（如直线）来证明极限不存在或不等于函数值。
步骤 4/4
目标：判断函数在原点是否可微
可微定义：
\[ \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0 \]
代入已知：
\[ \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{\frac{h^2 k}{h^2+k^2} - 0 - 0\cdot h - 0\cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{h^2 k}{(h^2+k^2)^{3/2}} \]
取路径 k = h：
\[ \frac{h^2 \cdot h}{(h^2+h^2)^{3/2}} = \frac{h^3}{(2h^2)^{3/2}} = \frac{h^3}{2^{3/2} |h|^3} \]
当 h>0 时，值为 \frac{1}{2^{3/2}} \neq 0，因此极限不为0，函数在原点不可微。
公式：\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{h^2 k}{(h^2+k^2)^{3/2}} \neq 0
提示：可微性判断需验证全增量与线性近似的差是否高阶无穷小，常用特殊路径反证。
步骤 5/5
目标：判断f(x,y)在(0,0)处的可微性
可微定义要求：
\[
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0
\]
代入f(0,0)=0, f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0，只需检查：
\[
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{h^3}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}}
\]
采用极坐标：h=r\cos\theta, k=r\sin\theta，则：
\[
\frac{r^3\cos^3\theta}{r^2\cdot r} = \cos^3\theta
\]
极限依赖于\theta，不为常数，故极限不存在（不为0），因此函数在原点不可微。
公式：\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = \cos^3\theta \text{（依赖方向）}
提示：可微性判断常用极坐标转化，若极限与角度有关则不可微。注意此处极限不为0即不满足可微条件。
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