北京交通大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
四、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导，证明：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(b)=f(a)+\frac{b-a}{2}\left[f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right]-\frac{(b-a)^{3}}{12} f^{\prime \prime}(\xi)
$$
1、 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (-1,0)$ 和 $\displaystyle (0,1)$ 上一致连续．
2、 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上不一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数，将待证等式转化为函数零点问题
设 $K = \\frac{12}{(b-a)^3}\\left[ f(b)-f(a)-\\frac{b-a}{2}(f'(a)+f'(b)) \\right]$，构造辅助函数 $F(t) = f(t) - f(a) - \\frac{t-a}{2}[f'(a)+f'(t)] + \\frac{(t-a)^3}{12}K$，则 $F(a)=0$，且由 $K$ 的定义知 $F(b)=0$。
公式：$F(t) = f(t) - f(a) - \\frac{t-a}{2}[f'(a)+f'(t)] + \\frac{(t-a)^3}{12}K$
提示：构造辅助函数是微分中值定理证明的常用技巧，注意常数 $K$ 的选取要使得 $F(b)=0$。
步骤 2/6
目标：计算 $F(t)$ 的一阶和二阶导数，并验证端点导数值为零
求导得 $F'(t) = \\frac{1}{2}f'(t) - \\frac{1}{2}f'(a) - \\frac{t-a}{2}f''(t) + \\frac{(t-a)^2}{4}K$，代入 $t=a$ 得 $F'(a)=0$。再求二阶导：$F''(t) = \\frac{t-a}{2}(K - f'''(t))$，代入 $t=a$ 得 $F''(a)=0$。
公式：$F''(t) = \\frac{t-a}{2}(K - f'''(t))$
提示：计算导数时注意逐项求导，并利用 $f$ 三阶可导的条件。
步骤 3/6
目标：多次应用罗尔定理，得到存在 $\xi$ 使 $F'''(\xi)=0$
由 $F(a)=F(b)=0$，存在 $\eta_1 \\in (a,b)$ 使 $F'(\\eta_1)=0$；又 $F'(a)=0$，存在 $\eta_2 \\in (a,\\eta_1)$ 使 $F''(\\eta_2)=0$；又 $F''(a)=0$，存在 $\xi \\in (a,\\eta_2) \\subset (a,b)$ 使 $F'''(\\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $c \\in (a,b)$ 使 $F'(c)=0$
提示：注意罗尔定理的应用条件：函数在闭区间连续、开区间可导、端点值相等。
步骤 4/6
目标：由 $F'''(\xi)=0$ 导出 $K = f'''(\xi)$，并整理得到待证等式
由 $F''(t) = \\frac{t-a}{2}(K - f'''(t))$ 及 $F''(\\eta_2)=0$ 且 $\\eta_2 > a$，得 $K = f'''(\\eta_2)$。但由罗尔定理得到的 $\xi$ 满足 $F'''(\\xi)=0$，且 $F''(t)$ 在 $[a,\\eta_2]$ 上满足中值定理条件，故存在 $\xi$ 使得 $K = f'''(\\xi)$。代入 $K$ 的定义即得 $f(b)=f(a)+\\frac{b-a}{2}[f'(a)+f'(b)] - \\frac{(b-a)^3}{12}f'''(\\xi)$。
公式：$f(b)=f(a)+\\frac{b-a}{2}[f'(a)+f'(b)] - \\frac{(b-a)^3}{12}f'''(\\xi)$
提示：注意最后一项是 $f'''$ 而非 $f''$，原题可能有笔误。
步骤 5/6
目标：判断 $f(x)=\\frac{|\\sin x|}{x}$ 在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 上的一致连续性
在 $(-1,0)$ 上，$x \\to 0^-$ 时 $\\frac{|\\sin x|}{x} = \\frac{-\\sin x}{x} \\to -1$，在 $x \\to -1^+$ 时函数值有限，故函数可连续延拓到闭区间 $[-1,0]$，从而在 $(-1,0)$ 上一致连续。同理，在 $(0,1)$ 上，$x \\to 0^+$ 时 $\\frac{|\\sin x|}{x} = \\frac{\\sin x}{x} \\to 1$，可延拓到 $[0,1]$，故一致连续。
公式：$\\lim_{x \\to 0^+} \\frac{\\sin x}{x} = 1$，$\\lim_{x \\to 0^-} \\frac{-\\sin x}{x} = -1$
提示：有限开区间上连续函数一致连续的充要条件是端点极限存在有限。
步骤 6/6
目标：判断 $f(x)=\\frac{|\\sin x|}{x}$ 在 $(-1,0) \\cup (0,1)$ 上的一致连续性
取 $x_n = \\frac{1}{n}$，$y_n = -\\frac{1}{n}$，则 $|x_n - y_n| = \\frac{2}{n} \\to 0$，但 $|f(x_n)-f(y_n)| = |\\frac{\\sin(1/n)}{1/n} - \\frac{-\\sin(1/n)}{-1/n}| = |1 - 1| = 0$？实际上需注意：$f(x_n)=\\frac{\\sin(1/n)}{1/n} \\to 1$，$f(y_n)=\\frac{-\\sin(1/n)}{-1/n} = \\frac{\\sin(1/n)}{1/n} \\to 1$，两者差趋于0。但更合适的取法是取 $x_n = \\frac{1}{n}$，$y_n = -\\frac{1}{n}$，则 $|f(x_n)-f(y_n)| = |1 - 1| = 0$，这不能说明不一致连续。正确取法：取 $x_n = \\frac{1}{n}$，$y_n = -\\frac{1}{n+1}$，则 $|x_n - y_n| \\to 0$，但 $f(x_n) \\to 1$，$f(y_n) \\to -1$，差趋于2，故不一致连续。
公式：一致连续定义：$\\forall \\varepsilon>0, \\exists \\delta>0$，使得 $|x-y|<\\delta$ 时 $|f(x)-f(y)|<\\varepsilon$
提示：两个区间并集上不一致连续的原因是0点处左右极限不相等，存在跳跃间断。
步骤 7/8
目标：证明f(x)在(0,1)上一致连续
在 $(0,1)$ 上，$x>0$，$\sin x > 0$，故 $|\sin x| = \sin x$，$f(x) = \frac{\sin x}{x}$。该函数在 $(0,1)$ 连续，且 $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1$，可连续延拓到 $[0,1]$，从而在 $(0,1)$ 上一致连续。
公式：$\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$
提示：与左区间类似，利用极限存在进行连续延拓。
步骤 8/8
目标：证明f(x)在(-1,0)∪(0,1)上不一致连续
取点列 $x_n = -\frac{1}{n}$，$y_n = \frac{1}{n}$，则 $|x_n - y_n| = \frac{2}{n} \to 0$。计算 $|f(x_n)-f(y_n)| = \left| \frac{-\sin(-1/n)}{-1/n} - \frac{\sin(1/n)}{1/n} \right| = | -1 - 1| = 2$（当 $n\to\infty$ 时极限为2）。因此存在两点距离任意小但函数值差趋于2，故不一致连续。
公式：$|f(x_n)-f(y_n)| \to 2 \neq 0$
提示：不一致连续的典型证法是构造两个趋于同一点但函数值差不为0的点列。
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