北京交通大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2、 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(-1,0) \cup(0,1)$ 上不一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：回顾一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。要证明不一致连续，只需找到某个固定的 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意小的 $\delta > 0$，都能找到两点 $x_1, x_2$ 满足 $|x_1 - x_2| < \delta$ 但 $|f(x_1)-f(x_2)| \ge \varepsilon_0$。
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_1,x_2\in I,|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续与连续的区别：一致连续要求 $\delta$ 对全区间一致有效，不依赖于点的位置。
步骤 2/4
目标：分析函数在零点附近的行为
考虑 $x$ 趋近于 $0$ 时的极限。当 $x>0$ 且 $x$ 很小时，$\sin x \approx x$，故 $f(x)=\frac{\sin x}{x}\to 1^-$；当 $x<0$ 且 $x$ 很小时，$|\sin x| = \sin(-x)$，分母为负，故 $f(x)=\frac{\sin(-x)}{x} = -\frac{\sin x}{x}\to -1^+$。因此函数在 $0$ 左右两侧分别趋近于 $1$ 和 $-1$，存在一个跳跃。
公式：$\lim_{x\to 0^+} f(x)=1,\quad \lim_{x\to 0^-} f(x)=-1$
提示：注意 $|\sin x|$ 在 $x<0$ 时的处理：$|\sin x| = \sin(-x)$，因为 $-x>0$。
步骤 3/4
目标：构造反例点列
取 $\varepsilon_0 = 1$。对任意 $\delta > 0$，选择 $n$ 充分大使得 $\frac{2}{n} < \delta$，令 $x_n = \frac{1}{n}$，$y_n = -\frac{1}{n}$，则 $|x_n - y_n| = \frac{2}{n} < \delta$。计算函数值：$f(x_n) = \frac{\sin(1/n)}{1/n}$，$f(y_n) = \frac{\sin(1/n)}{-1/n}$。当 $n$ 充分大时，$\frac{\sin(1/n)}{1/n} > \frac{1}{2}$（因为 $\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$），故 $|f(x_n)-f(y_n)| = 2\cdot\frac{\sin(1/n)}{1/n} > 1$。
公式：$x_n=\frac{1}{n},\ y_n=-\frac{1}{n},\ |x_n-y_n|=\frac{2}{n},\ |f(x_n)-f(y_n)|=2\cdot\frac{\sin(1/n)}{1/n}$
提示：确保 $n$ 足够大，使得 $\frac{\sin(1/n)}{1/n} > \frac{1}{2}$，例如 $n>2$ 即可。
步骤 4/4
目标：验证不一致连续的条件
对于取定的 $\varepsilon_0 = 1$，对任意 $\delta > 0$，存在 $n$ 使得 $\frac{2}{n} < \delta$，则 $x_n, y_n \in (-1,0)\cup(0,1)$，满足 $|x_n-y_n| < \delta$ 但 $|f(x_n)-f(y_n)| > 1 = \varepsilon_0$。因此，函数 $f(x)$ 在 $(-1,0)\cup(0,1)$ 上不一致连续。
公式：存在 $\varepsilon_0=1$，对任意 $\delta>0$，存在 $x_n,y_n$ 满足 $|x_n-y_n|<\delta$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0$
提示：注意区间不包含 $0$，但 $x_n,y_n$ 可以任意接近 $0$，仍属于定义域。
步骤 5/6
目标：估计差值的下界
当\(t\in(0,1]\)时，有\(\sin t \ge \frac{t}{2}\)（例如利用\(\sin t\)的凸性，或直接由\(\sin t \ge t-\frac{t^3}{6}\)在\(t\)很小时推出）。因此\(\frac{2\sin t}{t} \ge 2\cdot\frac{1}{2}=1\)。故\(|f(x)-f(y)|\ge 1=\varepsilon_0\)。
公式：\frac{2\sin t}{t} \ge 1
提示：确保\(t\)的选取使得\(\sin t \ge t/2\)成立，例如取\(t\in(0,\pi/2]\)即可，这里\(t\le 1/2\)满足条件。
步骤 6/6
目标：得出结论
对\(\varepsilon_0=1\)，无论\(\delta>0\)多小，都能找到\(x=t\)和\(y=-t\)满足\(|x-y|<\delta\)但\(|f(x)-f(y)|\ge 1\)。因此函数\(f(x)=\frac{|\sin x|}{x}\)在\((-1,0)\cup(0,1)\)上不一致连续。
提示：不一致连续的证明关键在于构造出距离任意小但函数值差保持大于某个正常数的点对。
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