北京交通大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
十、计算三重积分 $\displaystyle I=\iiint_{V} x \cdot e^{y+z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 是由曲面 $\displaystyle y=x^{2}$ 和平面 $\displaystyle y=x, x+y+z=2$ 及 $\displaystyle z=0$ 围成的区域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解积分区域V的几何形状并确定投影区域
区域V由曲面$y=x^2$、平面$y=x$、$x+y+z=2$及$z=0$围成。首先在xy平面上分析投影：由$y=x^2$与$y=x$相交，解$x^2=x$得$x=0$或$x=1$。因此xy平面上的投影区域为$x$从0到1，$y$从下曲线$y=x^2$到上曲线$y=x$。
公式：$x^2 = x \Rightarrow x(x-1)=0$
提示：注意$y=x^2$是抛物柱面，沿z方向无限延伸，需结合其他平面确定有限区域。
步骤 2/6
目标：确定z的积分范围并写出三重积分表达式
对于固定的$(x,y)$，$z$从底面$z=0$到顶面$x+y+z=2$，即$z=2-x-y$。在投影区域内$2-x-y \ge 0$恒成立。因此三重积分化为累次积分：
$$I = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x^2}^{x} \int_{z=0}^{2-x-y} x \cdot e^{y+z} \, dz\,dy\,dx$$
公式：$z$的范围：$0 \le z \le 2-x-y$
提示：确保顶面在底面之上，即$2-x-y \ge 0$，在投影区域内自动满足。
步骤 3/6
目标：先对z积分
将$x$和$y$视为常数，对$z$积分：
$$\int_{z=0}^{2-x-y} x e^{y+z} \, dz = x e^y \int_0^{2-x-y} e^z \, dz = x e^y \left[ e^z \right]_0^{2-x-y} = x e^y (e^{2-x-y} - 1) = x e^{2-x} - x e^y$$
公式：$\int e^{y+z} dz = e^{y+z}$
提示：注意$e^y \cdot e^{2-x-y} = e^{2-x}$，简化表达式。
步骤 4/6
目标：对y积分
固定$x$，对$y$积分：
$$\int_{y=x^2}^{x} (x e^{2-x} - x e^y) \, dy = x e^{2-x} (x - x^2) - x \int_{x^2}^{x} e^y \, dy = x e^{2-x} (x - x^2) - x(e^x - e^{x^2})$$
公式：$\int e^y dy = e^y$
提示：注意$\int_{x^2}^{x} e^y dy = e^x - e^{x^2}$，不要混淆上下限。
步骤 5/6
目标：化简并写出对x的积分表达式
将上一步结果化简：
$$x e^{2-x} (x - x^2) - x e^x + x e^{x^2} = x^2 (1-x) e^{2-x} - x e^x + x e^{x^2}$$
因此：
$$I = \int_0^1 \left[ x^2 (1-x) e^{2-x} - x e^x + x e^{x^2} \right] dx$$
公式：$x e^{2-x} (x - x^2) = x^2 (1-x) e^{2-x}$
提示：注意代数化简的准确性，避免符号错误。
步骤 6/6
目标：分别计算三个积分并求和
（1）计算$\int_0^1 x^2 (1-x) e^{2-x} dx = e^2 \int_0^1 (x^2 - x^3) e^{-x} dx$。利用分部积分：
$\int_0^1 x^2 e^{-x} dx = 2 - 5e^{-1}$，$\int_0^1 x^3 e^{-x} dx = 6 - 16e^{-1}$，
所以$\int_0^1 (x^2 - x^3) e^{-x} dx = (2-5e^{-1}) - (6-16e^{-1}) = -4 + 11e^{-1}$，乘以$e^2$得$-4e^2 + 11e$。
（2）计算$\int_0^1 -x e^x dx = -\int_0^1 x e^x dx = -[(x-1)e^x]_0^1 = -1$。
（3）计算$\int_0^1 x e^{x^2} dx$，令$u=x^2$，$du=2x dx$，得$\frac12 \int_0^1 e^u du = \frac12 (e-1)$。
求和：$I = (-4e^2 + 11e) + (-1) + \frac12(e-1) = -4e^2 + \frac{23}{2}e - \frac{3}{2}$。
公式：分部积分公式：$\int u dv = uv - \int v du$；换元法：$\int x e^{x^2} dx = \frac12 e^{x^2}$
提示：分部积分时注意符号和递推关系；换元时不要遗漏系数。
步骤 7/7
目标：合并结果得到最终答案
将三项结果相加：
$$I = (-4e^2 + 11e) + (-1) + \frac12(e-1) = -4e^2 + 11e -1 + \frac12 e - \frac12 = -4e^2 + \frac{23}{2}e - \frac32.$$
通分写成：
$$I = \frac{-8e^2 + 23e - 3}{2}.$$
公式：I = \frac{23e - 8e^2 - 3}{2}
提示：合并同类项时注意分数运算，最终答案可写成$\frac{23e-8e^2-3}{2}$。
步骤 8/8
目标：合并结果得到最终答案
$$I = I_1 + I_2 + I_3 = (-4e^2 + 11e) + (-1) + \frac12(e-1) = -4e^2 + 11e + \frac12 e - \frac12 - 1 = -4e^2 + \frac{23}{2}e - \frac{3}{2}$$
公式：$I = -4e^2 + \frac{23}{2}e - \frac{3}{2}$
提示：合并 $e$ 项时注意通分：$11e = \frac{22}{2}e$，加上 $\frac12 e$ 得 $\frac{23}{2}e$。
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