北京交通大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1、给定两正实数 $\displaystyle a_{1}$ 与 $\displaystyle b_{1},\left(a_{1}>b_{1}\right)$ ，作出其等差中项 $\displaystyle a_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ 与等比中项 $\displaystyle b_{2}= \sqrt{a_{1} b_{1}}$ ，一般地，令 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}},(n=1,2,3, \cdots)$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} b_{n}$ 皆存在且相等。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确数列定义与初始条件
已知两正实数 $a_1 > b_1 > 0$，定义数列：
$$a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}, \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}, \quad n=1,2,3,\dots$$
公式：$a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}, \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$
提示：注意初始条件 $a_1 > b_1 > 0$ 是后续推导的基础。
步骤 2/7
目标：利用均值不等式建立基本大小关系
由均值不等式，对任意正数 $x,y$ 有 $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$，等号成立当且仅当 $x=y$。
因此对任意 $n$，有 $b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \le \frac{a_n + b_n}{2} = a_{n+1}$。
进一步，由数学归纳法可得对所有 $n$，$b_n \le a_n$。
公式：$b_{n+1} \le a_{n+1}$
提示：注意等号仅在 $a_n = b_n$ 时成立，但初始条件 $a_1 > b_1$ 保证严格不等式。
步骤 3/7
目标：证明数列 $\{a_n\}$ 单调递减
因为 $b_n \le a_n$，所以
$$a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} \le \frac{a_n + a_n}{2} = a_n$$
故 $\{a_n\}$ 单调递减。
公式：$a_{n+1} \le a_n$
提示：单调递减的证明依赖于 $b_n \le a_n$，这是上一步的结论。
步骤 4/7
目标：证明数列 $\{b_n\}$ 单调递增
因为 $a_n \ge b_n$，所以
$$b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \ge \sqrt{b_n \cdot b_n} = b_n$$
故 $\{b_n\}$ 单调递增。
公式：$b_{n+1} \ge b_n$
提示：单调递增的证明依赖于 $a_n \ge b_n$。
步骤 5/7
目标：证明数列有界性
由于 $\{a_n\}$ 单调递减且 $a_n \ge b_n \ge b_1$，所以 $\{a_n\}$ 有下界 $b_1$；
由于 $\{b_n\}$ 单调递增且 $b_n \le a_n \le a_1$，所以 $\{b_n\}$ 有上界 $a_1$。
由单调有界定理，两个数列均收敛。
公式：$b_1 \le a_n \le a_1, \quad b_1 \le b_n \le a_1$
提示：注意下界和上界都是正数，确保极限存在。
步骤 6/7
目标：设极限并利用递推关系求相等
设 $\lim_{n\to\infty} a_n = A$，$\lim_{n\to\infty} b_n = B$，由单调性知 $A \ge B$。
对递推式 $a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$ 两边取极限得：
$$A = \frac{A + B}{2}$$
解得 $2A = A + B$，即 $A = B$。
公式：$A = \frac{A + B}{2} \Rightarrow A = B$
提示：取极限时需确保极限存在，这是前一步已证明的。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 均收敛，且极限相等，即
$$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n$$
公式：$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n$
提示：该极限称为 $a_1$ 与 $b_1$ 的算术-几何平均（AGM）。
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