📝 北京交通大学 2026年数学分析真题
第1题
1、给定两正实数 $\displaystyle a_{1}$ 与 $\displaystyle b_{1},\left(a_{1}>b_{1}\right)$ ，作出其等差中项 $\displaystyle a_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ 与等比中项 $\displaystyle b_{2}= \sqrt{a_{1} b_{1}}$ ，一般地，令 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}},(n=1,2,3, \cdots)$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} b_{n}$ 皆存在且相等。
第2题
2、假设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导，若 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $I$ 上的严格下凸函数，其中 $\displaystyle x_{0} \in I$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，证明：$\displaystyle x_{0}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 上的唯一极小值点．
第3题
3、设 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的一个连续周期函数，周期为 $\displaystyle p>0$ ，证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{p} \int_{0}^{p} f(t) \mathrm{d} t .
$$
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{p} \int_{0}^{p} f(t) \mathrm{d} t .
$$
第4题
4、（1）求不定积分 $\displaystyle \int \sin ^{4} x \mathrm{~d} x$ ．（2）求不定积分 $\displaystyle \int \frac{x-5}{x^{2}-3 x+4} \mathrm{~d} x$ ．
第5题
5、设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的邻域内连续．
（1）$\displaystyle \varphi(x, y)$ 满足什么条件？偏导数 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0), f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在．
（2）$\displaystyle \varphi(x, y)$ 满足什么条件？$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微。
（1）$\displaystyle \varphi(x, y)$ 满足什么条件？偏导数 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0), f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在．
（2）$\displaystyle \varphi(x, y)$ 满足什么条件？$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微。
第6题
6、求过点 $\displaystyle (2,1,3)$ 的平面，使得其与 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴围成的区域的体积为最小值．
第7题
7、求锥面 $\displaystyle z=\sqrt{3 x^{2}+3 y^{2}}$ 与平南 $\displaystyle x+y+z=2$ 所围成立体的表面积 $A$ ．
第8题
8、计算 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{1}{r^{2}} \cdot \cos \langle\overrightarrow{r, \vec{n}}\rangle \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为一封闭光滑曲面，$\displaystyle \vec{n}$ 为 $S$ 上点 $\displaystyle (x, y, z)$ 处的外法线，$\displaystyle \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}$ ，讨论下列两种情况：
（1）曲面 $S$ 不包含原点．
（2）曲面 $S$ 包含原点．
（1）曲面 $S$ 不包含原点．
（2）曲面 $S$ 包含原点．
第9题
9、如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足条件：
（i）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle n=1,2,3, \cdots$ ．
（ii）导函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle \varphi(x)$ ．
（iii）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 至少在某个 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 收敛，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}\left(x_{0}\right)=y_{0}$ ．
那么 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于某个连续可微函数 $\displaystyle f(x)$ ，并且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\varphi(x)$ ．
（i）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle n=1,2,3, \cdots$ ．
（ii）导函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle \varphi(x)$ ．
（iii）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 至少在某个 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 收敛，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}\left(x_{0}\right)=y_{0}$ ．
那么 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于某个连续可微函数 $\displaystyle f(x)$ ，并且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\varphi(x)$ ．
第10题
10、设 $\displaystyle a>0$ ，求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{(1+a)^{n}}$ 的和．
第11题
11、设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $I$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 上有界，同时对每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ ，存在 $\displaystyle M_{n}>0$ ，使得对任意 $\displaystyle x \in I$ ，有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq M_{n}$ 。证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle \mathbf{I}$ 上一致有界。
第12题
12、证明：
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 收敛但非一致收敛。
（2）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 收敛但非一致收敛。
（2）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续．