北京交通大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6、求过点 $\displaystyle (2,1,3)$ 的平面，使得其与 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴围成的区域的体积为最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设平面方程并表达体积
设所求平面在三个坐标轴上的截距分别为 $a, b, c$（均大于0），则平面方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$。该平面与三个坐标平面围成的四面体体积为 $V = \frac{1}{6}abc$。
公式：V = \frac{abc}{6}
提示：注意截距为正数，体积公式中的绝对值可省略。
步骤 2/6
目标：代入已知点得到约束条件
平面过点 $(2,1,3)$，代入方程得 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1$。问题转化为在约束 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1$ 下求 $abc$ 的最小值。
公式：\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1
提示：最小化体积等价于最小化 $abc$，因为 $V = abc/6$。
步骤 3/6
目标：构造拉格朗日函数并求偏导
设 $F(a,b,c)=abc$，约束 $g(a,b,c)=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{c}-1=0$。拉格朗日函数为 $\mathcal{L}=abc+\lambda\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{c}-1\right)$。分别对 $a,b,c$ 求偏导并令为零：
$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial a}=bc-\frac{2\lambda}{a^2}=0$，
$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial b}=ac-\frac{\lambda}{b^2}=0$，
$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c}=ab-\frac{3\lambda}{c^2}=0$。
公式：bc - \frac{2\lambda}{a^2}=0,\quad ac - \frac{\lambda}{b^2}=0,\quad ab - \frac{3\lambda}{c^2}=0
提示：注意对 $a$ 求导时 $\frac{\partial}{\partial a}\left(\frac{2}{a}\right)=-\frac{2}{a^2}$，其余类似。
步骤 4/6
目标：联立偏导方程得到截距关系
由前两个方程得 $\frac{bc a^2}{2}=ac b^2$，约去 $abc$（正数）得 $\frac{a}{2}=b$，即 $a=2b$。由第一和第三个方程得 $\frac{bc a^2}{2}=\frac{ab c^2}{3}$，约去 $abc$ 得 $\frac{a}{2}=\frac{c}{3}$，即 $c=\frac{3a}{2}$。
公式：a = 2b,\quad c = \frac{3a}{2}
提示：约去 $abc$ 时需确保 $a,b,c>0$。
步骤 5/6
目标：代入约束条件求解截距
将 $b=a/2$，$c=3a/2$ 代入约束 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{c}=1$，得 $\frac{2}{a}+\frac{2}{a}+\frac{2}{a}=\frac{6}{a}=1$，解得 $a=6$。进而 $b=3$，$c=9$。
公式：\frac{6}{a}=1 \Rightarrow a=6,\quad b=3,\quad c=9
提示：注意计算时 $\frac{1}{b}=\frac{2}{a}$，$\frac{3}{c}=\frac{2}{a}$。
步骤 6/6
目标：写出平面方程并计算最小体积
平面方程为 $\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{9}=1$。最小体积 $V_{\min}=\frac{6\times3\times9}{6}=27$。
公式：\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{9}=1,\quad V_{\min}=27
提示：体积单位省略，注意结果为正数。
步骤 7/7
目标：写出平面方程并计算最小体积
因此平面方程为 $\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{9}=1$，体积最小值为 $V_{\min} = \frac{1}{6} \times 6 \times 3 \times 9 = 27$。
公式：V_{\min} = \frac{1}{6}abc
提示：体积最小值是 $27$，注意单位。
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