北京交通大学 2026年数学分析第5题

已知函数 $f(x, y) = |x - y| \varphi(x, y)$，其中 $\varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的邻域内连续。我们需要讨论 $f$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数存在性以及可微性条件。首先计算 $f(0,0) = |0-0|\varphi(0,0) = 0$。

由偏导定义：$f_x'(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h| \varphi(h,0)}{h}$。当 $h>0$ 时，差商为 $\varphi(h,0)$；当 $h<0$ 时，差商为 $-\varphi(h,0)$。极限存在的充要条件是左右极限相等，即 $\lim_{h \to 0^+} \varphi(h,0) = \lim_{h \to 0^-} (-\varphi(h,0))$，由连续性得 $\varphi(0,0) = -\varphi(0,0)$，故 $\varphi(0,0)=0$。此时极限值为 $0$。

类似地，$f_y'(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{|k| \varphi(0,k)}{k}$。同样分析可得，极限存在的充要条件是 $\varphi(0,0)=0$，此时偏导值为 $0$。

综合以上两步，偏导数 $f_x'(0,0)$ 和 $f_y'(0,0)$ 同时存在的充要条件是 $\varphi(0,0)=0$，且此时两个偏导数均为 $0$。

函数在 $(0,0)$ 处可微的定义是存在常数 $A,B$ 使得 $f(x,y) - f(0,0) - A x - B y = o(\sqrt{x^2+y^2})$。由(1)知，若 $\varphi(0,0)=0$，则 $f_x'(0,0)=0$，$f_y'(0,0)=0$，因此可能的 $A=0, B=0$。可微条件简化为 $\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} \to 0$ 当 $(x,y)\to(0,0)$。

由于 $\frac{|x-y|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 在 $(0,0)$ 附近有界（最大值为 $\sqrt{2}$），且 $\varphi(x,y)$ 连续且 $\varphi(0,0)=0$，则对任意 $\epsilon>0$，存在邻域使 $|\varphi(x,y)|<\epsilon$，从而 $\left|\frac{|x-y|}{\sqrt{x^2+y^2}} \varphi(x,y)\right| \le \sqrt{2} \epsilon$，因此极限为 $0$。故 $\varphi(0,0)=0$ 也是可微的充分条件。

因此，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微的充要条件也是 $\varphi(0,0)=0$。

（1）偏导数 $f_x'(0,0)$ 和 $f_y'(0,0)$ 存在的充要条件是 $\varphi(0,0)=0$。（2）$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微的充要条件也是 $\varphi(0,0)=0$。