北京交通大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4、（1）求不定积分 $\displaystyle \int \sin ^{4} x \mathrm{~d} x$ ．（2）求不定积分 $\displaystyle \int \frac{x-5}{x^{2}-3 x+4} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：对 sin^4 x 进行降幂处理
利用三角恒等式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，则 $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$。
公式：$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
提示：注意平方展开时不要遗漏分母的平方。
步骤 2/7
目标：继续降幂处理 cos^2 2x
对 $\cos^2 2x$ 使用公式 $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$，代入得 $\sin^4 x = \frac{1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x}{4} = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$。
公式：$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$
提示：合并常数项时注意通分，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：积分 sin^4 x 的表达式
$\int \sin^4 x \, dx = \int \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x \right) dx = \frac{3}{8}x - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2x}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{\sin 4x}{4} + C = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + C$。
公式：$\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C$
提示：积分时注意系数相乘，不要遗漏常数 $C$。
步骤 4/7
目标：处理第二题分母，判断是否可因式分解
分母 $x^2 - 3x + 4$ 的判别式 $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 < 0$，故在实数范围内不可分解，采用配方法：$x^2 - 3x + 4 = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}$。
公式：判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$
提示：判别式小于0时，分母不能因式分解，需配方。
步骤 5/7
目标：将分子变形为分母导数的线性组合
分母的导数为 $2x - 3$。设 $x - 5 = A(2x - 3) + B$，比较系数得 $2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$，常数项 $-3A + B = -5 \Rightarrow -\frac{3}{2} + B = -5 \Rightarrow B = -\frac{7}{2}$。因此 $\frac{x-5}{x^2-3x+4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x-3}{x^2-3x+4} - \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{x^2-3x+4}$。
公式：待定系数法：$x-5 = A(2x-3) + B$
提示：注意常数项比较时符号要准确。
步骤 6/7
目标：积分第一部分和第二部分
第一部分：$\int \frac{2x-3}{x^2-3x+4} \, dx = \ln|x^2 - 3x + 4| + C$（分母恒正，绝对值可去掉）。第二部分：$\int \frac{1}{x^2-3x+4} \, dx = \int \frac{1}{(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}} \, dx$，令 $u = x - \frac{3}{2}$，$a = \frac{\sqrt{7}}{2}$，则 $\int \frac{1}{u^2 + a^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan\frac{u}{a} + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan\frac{2x-3}{\sqrt{7}} + C$。
公式：$\int \frac{1}{u^2 + a^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan\frac{u}{a} + C$
提示：配方后注意 $a$ 的值，不要忘记系数。
步骤 7/7
目标：合并结果并化简
原积分 $= \frac{1}{2} \ln(x^2 - 3x + 4) - \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan\frac{2x-3}{\sqrt{7}} + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 - 3x + 4) - \sqrt{7} \arctan\frac{2x-3}{\sqrt{7}} + C$。
公式：系数化简：$\frac{7}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}$
提示：注意 $\frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}$，不要遗漏负号。
步骤 8/8
目标：合并结果并化简
原积分 = \(\frac{1}{2} \ln(x^2-3x+4) - \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan\left(\frac{2x-3}{\sqrt{7}}\right) + C = \frac{1}{2} \ln(x^2-3x+4) - \sqrt{7} \arctan\left(\frac{2x-3}{\sqrt{7}}\right) + C\)。
公式：\frac{7}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}
提示：化简系数时注意约分。
步骤 9/9
目标：合并结果并化简
原积分 $= \frac{1}{2} \ln(x^2-3x+4) - \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan\left(\frac{2x-3}{\sqrt{7}}\right) + C = \frac{1}{2} \ln(x^2-3x+4) - \sqrt{7} \arctan\left(\frac{2x-3}{\sqrt{7}}\right) + C$。
提示：化简 $\frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}$。
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