北京交通大学 2026年数学分析第7题

题目要求锥面 $z = \sqrt{3x^2 + 3y^2}$ 与平面 $x + y + z = 2$ 所围成立体的表面积。该立体由两部分表面组成：锥面部分（侧面）和平面部分（顶面或截面）。因此总表面积 $A = A_{\text{cone}} + A_{\text{plane}}$。

将锥面方程代入平面方程：$x + y + \sqrt{3(x^2 + y^2)} = 2$。令 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，并采用极坐标 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，则 $x + y = r(\cos\theta + \sin\theta) = r\sqrt{2}\sin(\theta + \pi/4)$。代入得 $r\sqrt{2}\sin(\theta + \pi/4) + \sqrt{3}r = 2$，解得 $r(\theta) = \frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{2}\sin(\theta + \pi/4)}$。该曲线在 $xy$ 平面上的投影区域记为 $D$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。

锥面 $z = \sqrt{3(x^2 + y^2)} = \sqrt{3}r$。计算偏导数：$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\sqrt{3}x}{r}, \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\sqrt{3}y}{r}$。则 $1 + z_x^2 + z_y^2 = 1 + \frac{3x^2}{r^2} + \frac{3y^2}{r^2} = 4$，面积元素 $dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\,dxdy = 2\,dxdy$。因此 $A_{\text{cone}} = \iint_D 2\,dxdy = 2 \times \text{Area}(D)$。

区域 $D$ 的边界由极坐标方程 $r(\theta)$ 给出，面积为 $\text{Area}(D) = \frac12 \int_0^{2\pi} r(\theta)^2\,d\theta = \frac12 \int_0^{2\pi} \frac{4}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}\sin(\theta + \pi/4))^2}\,d\theta$。令 $\phi = \theta + \pi/4$，由周期性得 $\text{Area}(D) = 2 \int_0^{2\pi} \frac{d\phi}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}\sin\phi)^2}$。利用标准积分公式 $\int_0^{2\pi} \frac{d\phi}{(a + b\sin\phi)^2} = \frac{2\pi a}{(a^2 - b^2)^{3/2}}$（$a > |b|$），代入 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}$，得 $\int_0^{2\pi} \frac{d\phi}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}\sin\phi)^2} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{(3-2)^{3/2}} = 2\pi\sqrt{3}$。因此 $\text{Area}(D) = 2 \times 2\pi\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3}$。

由 $A_{\text{cone}} = 2 \times \text{Area}(D)$，代入 $\text{Area}(D) = 4\pi\sqrt{3}$，得 $A_{\text{cone}} = 2 \times 4\pi\sqrt{3} = 8\pi\sqrt{3}$。

平面方程为 $x + y + z = 2$，即 $z = 2 - x - y$，法向量为 $(1,1,1)$。平面与 $xy$ 平面夹角 $\gamma$ 满足 $\cos\gamma = \frac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{k}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。平面部分在 $xy$ 平面上的投影即为区域 $D$，故 $A_{\text{plane}} = \frac{\text{Area}(D)}{\cos\gamma} = 4\pi\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 12\pi$。

总表面积 $A = A_{\text{cone}} + A_{\text{plane}} = 8\pi\sqrt{3} + 12\pi$。