北京交通大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8、计算 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{1}{r^{2}} \cdot \cos \langle\overrightarrow{r, \vec{n}}\rangle \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为一封闭光滑曲面，$\displaystyle \vec{n}$ 为 $S$ 上点 $\displaystyle (x, y, z)$ 处的外法线，$\displaystyle \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}$ ，讨论下列两种情况：
（1）曲面 $S$ 不包含原点．
（2）曲面 $S$ 包含原点．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确被积函数的含义并化简
原积分为 \(\displaystyle \oiint_{S} \frac{1}{r^{2}} \cos \langle\overrightarrow{r, \vec{n}}\rangle \mathrm{d} S\)，其中 \(r=|\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)，\(\vec{n}\) 为外法向单位向量。由于 \(\cos \langle\vec{r},\vec{n}\rangle = \frac{\vec{r}\cdot\vec{n}}{r}\)，被积函数化为 \(\frac{1}{r^2}\cdot\frac{\vec{r}\cdot\vec{n}}{r} = \frac{\vec{r}\cdot\vec{n}}{r^3}\)，因此原积分等于 \(\displaystyle \oiint_{S} \frac{\vec{r}\cdot\vec{n}}{r^3} \mathrm{d}S\)。
公式：\cos \langle\vec{r},\vec{n}\rangle = \frac{\vec{r}\cdot\vec{n}}{r}
提示：注意 \(\vec{r}\) 是从原点指向曲面上点的位置向量，\(\vec{n}\) 是单位外法向量。
步骤 2/7
目标：将积分与向量场散度联系
令向量场 \(\vec{F} = \frac{\vec{r}}{r^3} = \left(\frac{x}{r^3}, \frac{y}{r^3}, \frac{z}{r^3}\right)\)，则被积函数为 \(\vec{F}\cdot\vec{n}\)，原积分即为 \(\displaystyle \oiint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n} \mathrm{d}S\)。由高斯散度定理，\(\displaystyle \oiint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n} \mathrm{d}S = \iiint_{V} \nabla\cdot\vec{F} \mathrm{d}V\)，其中 \(V\) 是 \(S\) 所包围的区域。
公式：\oiint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n} \mathrm{d}S = \iiint_{V} \nabla\cdot\vec{F} \mathrm{d}V
提示：高斯公式要求向量场在区域 \(V\) 内连续可微，注意原点处可能为奇点。
步骤 3/7
目标：计算散度
计算 \(\nabla\cdot\vec{F}\)：\(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^3}\right) = \frac{r^3 - x\cdot 3r^2\cdot\frac{x}{r}}{r^6} = \frac{r^2-3x^2}{r^5}\)，同理 \(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r^3}\right) = \frac{r^2-3y^2}{r^5}\)，\(\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r^3}\right) = \frac{r^2-3z^2}{r^5}\)。三式相加得 \(\nabla\cdot\vec{F} = \frac{3r^2-3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = 0\)，但此式在原点 \(r=0\) 处无定义。
公式：\nabla\cdot\vec{F} = 0 \quad (r\neq 0)
提示：散度在原点处不成立，需分情况讨论原点是否在曲面内部。
步骤 4/7
目标：情况（1）：曲面不包含原点
若 \(S\) 不包含原点，则区域 \(V\) 内处处有 \(r>0\)，散度处处为0。由高斯公式，\(\displaystyle \oiint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n} \mathrm{d}S = \iiint_{V} 0 \mathrm{d}V = 0\)。
公式：\oiint_{S} \frac{\vec{r}\cdot\vec{n}}{r^3} \mathrm{d}S = 0
提示：直接应用高斯公式即可，无需处理奇点。
步骤 5/7
目标：情况（2）：曲面包含原点（构造辅助曲面）
若 \(S\) 包含原点，原点为奇点，不能直接对整个区域用高斯公式。以原点为球心、\(\varepsilon\) 为半径作小球面 \(S_\varepsilon\)（取外法向背离原点），使小球完全包含在 \(S\) 内部。在 \(S\) 与 \(S_\varepsilon\) 之间的区域 \(V'\) 内，散度处处为0。对 \(V'\) 应用高斯公式，注意 \(S\) 的外法向与 \(S_\varepsilon\) 的外法向对于 \(V'\) 而言方向相反，故有 \(\displaystyle \oiint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n} \mathrm{d}S + \oiint_{S_\varepsilon} \vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{内}} \mathrm{d}S = 0\)，其中 \(\vec{n}_{\text{内}}\) 为 \(S_\varepsilon\) 指向原点的法向。取 \(S_\varepsilon\) 的外法向为 \(\vec{r}/r\)（背离原点），则对于 \(V'\) 的外法向，在 \(S_\varepsilon\) 上为 \(-\vec{r}/r\)，因此 \(\displaystyle \oiint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n} \mathrm{d}S - \oiint_{S_\varepsilon} \vec{F}\cdot\frac{\vec{r}}{r} \mathrm{d}S = 0\)，即 \(\displaystyle \oiint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n} \mathrm{d}S = \oiint_{S_\varepsilon} \frac{\vec{r}}{r^3}\cdot\frac{\vec{r}}{r} \mathrm{d}S\)。
公式：\oiint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n} \mathrm{d}S = \oiint_{S_\varepsilon} \frac{1}{r^2} \mathrm{d}S
提示：注意辅助曲面的法向方向选择，确保符号正确。
步骤 6/7
目标：计算小球面上的积分
在半径为 \(\varepsilon\) 的球面 \(S_\varepsilon\) 上，\(r=\varepsilon\) 为常数，故 \(\displaystyle \oiint_{S_\varepsilon} \frac{1}{r^2} \mathrm{d}S = \frac{1}{\varepsilon^2} \oiint_{S_\varepsilon} \mathrm{d}S = \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot 4\pi\varepsilon^2 = 4\pi\)。因此原积分值为 \(4\pi\)。
公式：\oiint_{S_\varepsilon} \mathrm{d}S = 4\pi\varepsilon^2
提示：球面面积公式为 \(4\pi r^2\)，代入半径即可。
步骤 7/7
目标：总结两种情况的结果
（1）若曲面 \(S\) 不包含原点，积分值为 \(0\)；
（2）若曲面 \(S\) 包含原点，积分值为 \(4\pi\)。
公式：\text{结果：} \begin{cases} 0, & \text{原点不在 }S\text{ 内} \\ 4\pi, & \text{原点在 }S\text{ 内} \end{cases}
提示：该结果与立体角概念一致：原点处点电荷的电场通量为 \(4\pi\) 倍电荷量。
步骤 8/8
目标：总结两种情况的结果
（1）若 $S$ 不包含原点，积分为 $0$；（2）若 $S$ 包含原点，积分为 $4\pi$。
公式：无
提示：注意原点是否在曲面内部是决定结果的关键。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。