北京交通大学 2026年数学分析第9题
📝 题目
9、如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足条件：
（i）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle n=1,2,3, \cdots$ ．
（ii）导函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle \varphi(x)$ ．
（iii）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 至少在某个 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 收敛，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}\left(x_{0}\right)=y_{0}$ ．
那么 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于某个连续可微函数 $\displaystyle f(x)$ ，并且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\varphi(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用微积分基本定理表示函数差
由条件（i），每个 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上连续可微，因此对任意 $x \in [a,b]$，有
$$f_n(x) - f_n(x_0) = \int_{x_0}^{x} f_n'(t) \, dt.$$
于是
$$f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^{x} f_n'(t) \, dt.$$
公式：f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^{x} f_n'(t) \, dt
提示：注意积分上下限的方向：当 $x < x_0$ 时，积分路径自动取反向，公式仍然成立。
步骤 2/4
目标：证明函数列逐点收敛
由条件（iii），$f_n(x_0) \to y_0$。由条件（ii），$f_n'(t)$ 一致收敛于 $\varphi(t)$，因此对每个固定的 $x$，积分号下取极限可得
$$\lim_{n\to\infty} \int_{x_0}^{x} f_n'(t) \, dt = \int_{x_0}^{x} \varphi(t) \, dt.$$
于是逐点极限存在，记
$$f(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} \varphi(t) \, dt.$$
此时显然 $f(x_0)=y_0$。
公式：f(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} \varphi(t) \, dt
提示：一致收敛保证极限与积分可交换顺序，这是关键。
步骤 3/4
目标：证明一致收敛性
考虑差：
$$|f_n(x) - f(x)| = \left| f_n(x_0) - y_0 + \int_{x_0}^{x} [f_n'(t) - \varphi(t)] \, dt \right|.$$
由三角不等式：
$$|f_n(x)-f(x)| \le |f_n(x_0)-y_0| + \left| \int_{x_0}^{x} |f_n'(t)-\varphi(t)| \, dt \right|.$$
因为 $f_n'(t)$ 一致收敛于 $\varphi(t)$，所以对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N_1$，当 $n>N_1$ 时，对所有 $t\in[a,b]$ 有 $|f_n'(t)-\varphi(t)| < \varepsilon$。同时，由 $f_n(x_0)\to y_0$，存在 $N_2$，当 $n>N_2$ 时，$|f_n(x_0)-y_0| < \varepsilon$。取 $N=\max(N_1,N_2)$，则当 $n>N$ 时，对任意 $x\in[a,b]$，
$$|f_n(x)-f(x)| \le \varepsilon + \varepsilon \cdot (b-a).$$
这说明 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$。
公式：|f_n(x)-f(x)| \le |f_n(x_0)-y_0| + (b-a) \sup_{t\in[a,b]}|f_n'(t)-\varphi(t)|
提示：注意积分区间长度 $|x-x_0| \le b-a$，因此上界与 $x$ 无关，从而得到一致收敛。
步骤 4/4
目标：证明极限函数连续可微且导数等于φ
由定义 $f(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} \varphi(t) \, dt$。由于 $\varphi$ 是一致收敛的连续函数列的极限（每个 $f_n'$ 连续，一致收敛极限也连续），所以 $\varphi$ 在 $[a,b]$ 上连续。于是由微积分基本定理，$f$ 连续可微且
$$f'(x) = \varphi(x).$$
公式：f'(x) = \varphi(x)
提示：一致收敛的连续函数列极限函数必连续，这是分析中的基本结论。
步骤 5/6
目标：证明 f 可微且导数等于 φ
对任意 $x$ 和充分小的 $h$（使得 $x+h \in [a,b]$），由牛顿-莱布尼茨公式：
$$f_n(x+h) - f_n(x) = \int_x^{x+h} f_n'(t) \, dt.$$
令 $n \to \infty$，由于 $f_n'$ 一致收敛到 $\varphi$，且 $\varphi$ 连续（一致收敛的连续函数列极限连续），可以交换极限与积分：
$$f(x+h) - f(x) = \int_x^{x+h} \varphi(t) \, dt.$$
于是
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} \varphi(t) \, dt = \varphi(x),$$
最后一步由 $\varphi$ 的连续性及积分中值定理得到。因此 $f$ 可微且 $f'(x) = \varphi(x)$。
公式：$$f(x+h) - f(x) = \int_x^{x+h} \varphi(t) \, dt, \quad f'(x) = \varphi(x).$$
提示：交换极限与积分需要一致收敛的条件，这里导数列的一致收敛是关键。
步骤 6/6
目标：总结结论
我们已经证明：
1. $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于某个函数 $f(x)$；
2. $f(x)$ 连续可微，且 $f'(x) = \varphi(x)$。
这意味着在给定条件下，极限与求导可以交换次序。
提示：该结论是数学分析中函数列微分性质的重要定理，常用于验证极限函数的可微性。
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