北京交通大学 2026年数学分析第10题
📝 题目
10、设 $\displaystyle a>0$ ，求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{(1+a)^{n}}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定级数形式与收敛性
已知 \(a > 0\)，则 \(1+a > 1\)，令公比 \(r = \frac{1}{1+a} < 1\)，因此级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} r^{n}\) 绝对收敛，可以逐项求导。
公式：r = \frac{1}{1+a} < 1
提示：注意公比小于1是级数收敛的前提，后续所有操作均基于此。
步骤 2/6
目标：从基础几何级数出发，求 \(\sum n x^n\)
已知当 \(|x|<1\) 时，\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}\)。逐项求导得 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\)，两边乘以 \(x\) 得 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}\)。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}
提示：求导时注意下标从n=1开始，因为n=0项为0。
步骤 3/6
目标：再求 \(\sum n^2 x^n\)
对 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}\) 两边再求导：\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1-x)^2} \right)\)。计算导数：\(f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} + \frac{2x}{(1-x)^3} = \frac{1+x}{(1-x)^3}\)。两边乘以 \(x\) 得 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\)。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}
提示：求导时注意链式法则，特别是 \((1-x)^{-2}\) 的导数为 \(2(1-x)^{-3}\)。
步骤 4/6
目标：代入具体的 \(x = \frac{1}{1+a}\)
令 \(x = \frac{1}{1+a}\)，则 \(1-x = 1 - \frac{1}{1+a} = \frac{a}{1+a}\)。代入求和公式：\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \left( \frac{1}{1+a} \right)^n = \frac{\frac{1}{1+a} \left(1 + \frac{1}{1+a}\right)}{\left( \frac{a}{1+a} \right)^3}\)。
公式：1-x = \frac{a}{1+a}
提示：代入时注意分子分母的幂次，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：化简表达式
分子：\(\frac{1}{1+a} \cdot \frac{a+2}{1+a} = \frac{a+2}{(1+a)^2}\)；分母：\(\left( \frac{a}{1+a} \right)^3 = \frac{a^3}{(1+a)^3}\)。因此原式 = \(\frac{\frac{a+2}{(1+a)^2}}{\frac{a^3}{(1+a)^3}} = \frac{a+2}{(1+a)^2} \cdot \frac{(1+a)^3}{a^3} = \frac{(a+2)(1+a)}{a^3}\)。
公式：\frac{(a+2)(1+a)}{a^3}
提示：化简时注意约分 \((1+a)^2\) 与 \((1+a)^3\)，得到 \((1+a)\)。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此原级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{(1+a)^{n}}\) 的和为 \(\boxed{\frac{(a+2)(1+a)}{a^3}}\)。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{(1+a)^{n}} = \frac{(a+2)(1+a)}{a^3}
提示：最终结果中 \(a>0\)，分母不为零，表达式有效。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此，级数的和为 $\frac{(a+2)(1+a)}{a^3}$。
提示：最终结果可以展开为 $\frac{a^2+3a+2}{a^3}$，但通常保留因式形式。
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