北京交通大学 2026年数学分析第11题
📝 题目
11、设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $I$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 上有界，同时对每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ ，存在 $\displaystyle M_{n}>0$ ，使得对任意 $\displaystyle x \in I$ ，有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq M_{n}$ 。证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle \mathbf{I}$ 上一致有界。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用一致收敛性，取ε=1，得到一致逼近条件
因为函数列 $\{f_n\}$ 在区间 $I$ 上一致收敛于 $f$，由一致收敛的定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n \geq N$ 时，对所有 $x \in I$ 都有 $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$。取 $\varepsilon = 1$，则存在 $N_0$，当 $n \geq N_0$ 时，对所有 $x \in I$ 有 $|f_n(x) - f(x)| < 1$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n \geq N, \forall x \in I: |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$
提示：一致收敛的定义中，$N$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x$，这是关键。
步骤 2/4
目标：利用f(x)的有界性，得到从第N0项开始的一致界
已知 $f(x)$ 在 $I$ 上有界，故存在常数 $A > 0$，使得对所有 $x \in I$，$|f(x)| \leq A$。对于 $n \geq N_0$，由三角不等式：$|f_n(x)| \leq |f_n(x) - f(x)| + |f(x)| < 1 + A$，对所有 $x \in I$ 成立。因此，从第 $N_0$ 项开始，函数列被常数 $1 + A$ 一致控制。
公式：$|f_n(x)| \leq |f_n(x) - f(x)| + |f(x)| < 1 + A$
提示：三角不等式是处理绝对值估计的常用工具，注意不等号方向。
步骤 3/4
目标：处理前N0-1个函数，利用每个fn的个体有界性
对于 $n = 1, 2, \dots, N_0 - 1$，题目已知每个 $f_n$ 有界，即存在 $M_n > 0$ 使得 $|f_n(x)| \leq M_n$ 对所有 $x \in I$ 成立。
公式：$\forall n < N_0, \exists M_n > 0, \forall x \in I: |f_n(x)| \leq M_n$
提示：注意前有限项的有界性只保证每个函数单独有界，但界可能不同，需要取最大值统一。
步骤 4/4
目标：取所有界中的最大值，得到一致有界常数M
取 $M = \max\{ M_1, M_2, \dots, M_{N_0-1}, 1 + A \}$。则对任意 $n$ 和任意 $x \in I$，都有 $|f_n(x)| \leq M$。当 $n < N_0$ 时，$|f_n(x)| \leq M_n \leq M$；当 $n \geq N_0$ 时，$|f_n(x)| < 1 + A \leq M$。因此函数列 $\{f_n\}$ 在 $I$ 上一致有界。
公式：$M = \max\{ M_1, M_2, \dots, M_{N_0-1}, 1 + A \}$
提示：取最大值时，要确保所有项都被覆盖，包括有限项和无限项的统一界。
步骤 5/5
目标：合并两个上界，得到一致有界性
令$M=\max\{M', 1+A\}$，则对所有$n\in\mathbb{N}$和所有$x\in I$，有$|f_n(x)|\leq M$。因此函数列$\{f_n(x)\}$在$I$上一致有界。
公式：$M=\max\{M', 1+A\}$
提示：注意$M$不依赖于$n$和$x$，是一致有界的公共界。
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