北京交通大学 2026年数学分析第12题

对任意固定的 $x > 0$，令 $q = e^{-x}$，则 $0 < q < 1$。级数通项为 $n q^n$。使用比值判别法： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)q^{n+1}}{n q^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} q = q < 1 $$ 因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 对每个 $x>0$ 收敛，即在 $(0,+\infty)$ 上逐点收敛。

考虑余项 $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{\infty} n e^{-n x}$。若一致收敛，则应有 $\lim_{N \to \infty} \sup_{x>0} |R_N(x)| = 0$。取 $x = 1/N$，则 $$ R_N(1/N) = \sum_{n=N+1}^{\infty} n e^{-n/N} $$ 当 $n$ 从 $N+1$ 到 $2N$ 时，$e^{-n/N} \ge e^{-2}$，且 $n \ge N+1$，因此 $$ R_N(1/N) \ge \sum_{n=N+1}^{2N} n e^{-2} \ge N \cdot (N+1) \cdot e^{-2} \to \infty \quad (N \to \infty) $$ 故 $\sup_{x>0} |R_N(x)|$ 不趋于 0，级数非一致收敛。

对任意 $x_0 > 0$，取 $a = x_0/2 > 0$，考虑区间 $[a, +\infty)$。当 $x \ge a$ 时，有 $e^{-n x} \le e^{-n a}$，从而 $$ n e^{-n x} \le n e^{-n a} $$ 由于 $e^{-a} < 1$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n a}$ 收敛。由 Weierstrass M-判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致收敛。每项 $n e^{-n x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，故和函数 $f(x)$ 在该区间上连续。特别地，在 $x_0$ 处连续。由 $x_0$ 的任意性，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续。

（1）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上逐点收敛，但非一致收敛。 （2）和函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续。

每个项$n e^{-n x}$在$(0,+\infty)$上连续。对于任意闭区间$[a,b]\subset(0,+\infty)$，当$x\ge a>0$时，$|n e^{-n x}| \le n e^{-n a}$，而$\sum n e^{-n a}$收敛（由根值判别法），由Weierstrass判别法知级数在$[a,b]$上一致收敛。

由于级数在任意闭区间$[a,b]$上一致收敛，且每项连续，故和函数$f(x)$在$[a,b]$上连续。由$[a,b]$的任意性，$f(x)$在$(0,+\infty)$上连续。